Trójkąt opisany

[szprot_w_oleju]

Na okręgu o promieniu 3 opisano trójkąt równoramienny o kącie \(\displaystyle{ 120}\). Oblicz długości boków tego trójkąta.

Mógłby ktoś wytłumaczyć po kolei?

[aalmond]

Zrób rysunek. Wysokość trójkąta \(\displaystyle{ h = r + p}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) - promień okręgu.
\(\displaystyle{ \frac{r}{p} = \sin (0,5 \cdot \alpha )}\),
gdzie \(\displaystyle{ \alpha = 120 ^{\circ}}\)
Mając \(\displaystyle{ h}\), obliczysz długości boków trójkąta

[szprot_w_oleju]

Zasadniczo zrobiłem to zadanie poprawnie, jednakże niepożądanym sposobem (korzystając m.in. z \(\displaystyle{ \ctg 15}\) wyszły mi liczby z wieloma miejscami po przecinku, a powinny wyjść pierwiastki... Ktoś jest w stanie zrobić to zadanie innym sposobem?

[aalmond]

Skorzystaj z tych wskazówek, które Ci podałem.

[szprot_w_oleju]

Dwusieczna kąta 30 dzieli go na połowy i przechodzi przez środek okręgu wpisanego w trójkąt, więc
\(\displaystyle{ \ctg 15^{\circ}=3,7321\\}\)
Liczę drugą przyprostokątną:
\(\displaystyle{ 3 \cdot 3,7321=11,1963\\}\)
Dł. podstawy:
\(\displaystyle{ 11,1963 \cdot 2=22,3926\\}\)
Dł. ramion:
\(\displaystyle{ 11,1963:( \sqrt{3} \cdot 2)=12,94367}\)
Wszystko ok, tylko powinno mi to w jakiś sposób wyjść w pierwiastkach.

[aalmond]

Zrób rysunek. Wysokość trójkąta \(\displaystyle{ h = r + p}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) - promień okręgu.
\(\displaystyle{ \frac{r}{p} = \sin (0,5 \cdot \alpha )}\),
gdzie \(\displaystyle{ \alpha = 120 ^{\circ}}\)
Mając \(\displaystyle{ h}\), obliczysz długości boków trójkąta

\(\displaystyle{ p = \frac{3}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } = 2 \sqrt{3} \\ \\
h = 3+ 2 \sqrt{3} \\
a = \frac{h}{\cos 60 ^{\circ} }= 6 + 4 \sqrt{3} \\
b = 2 \cdot h \cdot \tg 60 ^{\circ}} = 12 + 6 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a}\) - ramię trójkąta
\(\displaystyle{ b}\)- podstawa