Zadania z trojkatem prostokatnym - trudne

[Jawana]

Dany jest trojkat prostokatny o kacie prostym przy wierzcholku C. W tym trojkacie

\(\displaystyle{ \frac{AC + BC}{AB}=\frac{4}{3}}\)

Oblicz cosinus kąta BAC

[florek177]

1. \(\displaystyle{ \frac{a + b}{c} = \frac{4}{3} \,\,}\) --> \(\displaystyle{ a + b = \frac{4c}{3}}\)

2. \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = c^{2} \,\,}\)

Pierwsze podnoszę stronami do kwadratu, podstawiam do drugiego i otrzymuję:
3. \(\displaystyle{ 7c^{2} = 18 a b \,\,}\)

\(\displaystyle{ cos(\alpha) = \frac{a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2ac} \,\,}\)

poprawiłem. masz rację, machnąłem się w literkach, i teraz ten sposób bardziej gmatwa rozwiązanie. To niżej jest łatwiejsze.

[Jawana]

dziekie wielkie juz wszystko rozumiem:)

[ Dodano: 14 Styczeń 2007, 22:50 ]
a nie! masz blad w przeksztalceniu twierdzenia cosinusow. Nie mam racji?

[DEXiu]

A nie można wprost z definicji f. trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym (\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c}=\frac{4}{3}\,\Leftrightarrow\,sin\alpha+cos\alpha=\frac{4}{3}}\) i skorzystać ze wzoru na sumę sinusa i cosinusa?

[xeso]

Moim zdaniem lepiej podniesc do kwadratu, i mamy wtedy
\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha+2sin\alpha*cos\alpha=\frac{16}{9}}\)
\(\displaystyle{ 1+sin2\alpha=\frac{16}{9}}\)
\(\displaystyle{ sin2\alpha=\frac{7}{9}}\)
Korzystajac z jedynki otrzymujemy
\(\displaystyle{ cos^{2}2\alpha=\frac{32}{81}}\)
\(\displaystyle{ cos2\alpha=\frac{4\sqrt{2}}{9}}\) lub \(\displaystyle{ cos2\alpha=-\frac{4\sqrt{2}}{9}}\)
Z cosinusa kata podwojnego:
\(\displaystyle{ cos^{2}\alpha=\frac{1}{2}(cos2\alpha+1)}\)
podstawic i policzyc