Matematyka.pl

Dany jest trapez równoramienny \(\displaystyle{ OACB}\) o którym wiadomo, że \(\displaystyle{ |AC|=|BC|=2}\) i jednym z jego kątów wewnętrznych jest kąt o mierze \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\). Który kąt wewnętrzny tego trapezu ma miarę \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\)? Odpowiedź uzasadnić.

Podpowiedź.
Wiadomo, że oba przy dłuższej podstawie.
Zobacz czy zajdzie jak dłuższa podstawa będzie miała 2.

Jeśli trapez jest równoramienny i dwa jego sąsiednie boki są równe oraz jeden z kątów trapezu jest ostry (czyli nie jest to kwadrat), to - albo trapez jest rombem, albo długość równą 2 mają ramiona i jedna z podstaw.
Musi to być krótsza podstawa, bo trójkąt wyznaczony przez boki AC i BC jest trójkątem równobocznym.

Trapez ten ma zatem - ramiona AC i OB o długości 2, krótszą podstawę BC o długości 2. Dłuższa podstawa to OA. Kąty ostre to więc kąty BOA i OAC.

-- 6 wrz 2011, o 15:07 --

irena_1 pisze:Jeśli trapez jest równoramienny i dwa jego sąsiednie boki są równe oraz jeden z kątów trapezu jest ostry (czyli nie jest to kwadrat), to - albo trapez jest rombem, albo długość równą 2 mają ramiona i jedna z podstaw.

To rozumiem.

irena_1 pisze:Musi to być krótsza podstawa, bo trójkąt wyznaczony przez boki AC i BC jest trójkątem równobocznym.

Wiem, że jest równoramienny, ale skąd wiadomo, że jest równoboczny? Przepraszam, ale w tej chwili tego nie widzę.

-- 6 wrz 2011, o 15:38 --

piasek101 pisze:Podpowiedź.
Wiadomo, że oba przy dłuższej podstawie.
Zobacz czy zajdzie jak dłuższa podstawa będzie miała 2.

Ok, chyba wykazałem z twierdzenia cosinusów, że przy jednej podstawie mogą mieć taką miarę, a przy drugiej podstawie nie mogą mieć takiej miary, ale nie uwzględniałem tego, że podstawy mogą mieć różne długości - po prostu przyjąłem jak w zadaniu, że jedna ma długość 2. Mogłoby to wyjść bez uwzględnienia tego, która podstawa jest dłuższa i czy w ogóle tak jest?

Niestety istnieją dwie definicje trapezu równoramiennego.

Przyjmując taką jaką autor zadania miał na myśli (coś z osią symetrii) trzeba przyjąć, że tu nie jest kwadratem (bo kąt ostry).
Zatem jego jednakowe (sąsiednie) boki to jedna z podstaw (dlaczego ta krótsza to masz wykazać) i ramię.
Wtedy (po wykazaniu) masz które to kąty.

Wyszło mi, że przy tej podstawie o długości \(\displaystyle{ 2}\) kąty wewnętrzne nie mogę mieć miary \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\). Dzięki za pomoc.

tatteredspire pisze:Wyszło mi, że przy tej podstawie o długości \(\displaystyle{ 2}\) kąty wewnętrzne nie mogę mieć miary \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\). Dzięki za pomoc.

To (wg mnie) Ci dobrze wyszło.