Matematyka.pl

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ACB}\) wyznaczamy długość odcinka \(\displaystyle{ AC}\). Z kolei z tw. sinusów dla tego trójkąta wyznaczamy miary kątów \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC \text { i } \sphericalangle ACB}\). Jeżeli \(\displaystyle{ \sphericalangle BKA=30^{\circ} \text{ i } \sphericalangle BKC=60^{\circ}}\) to \(\displaystyle{ \sphericalangle AKC=30^{\circ}}\).
Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ACK}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{|AC|}{\sin{30^{\circ}}}=\frac{|CK|}{\sin{ \sphericalangle CAK } }}\).
Z kolei dla trójkąta \(\displaystyle{ ABK}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{|AB|}{\sin{30^{\circ}}}=\frac{|BK|}{\sin{ \sphericalangle KAB } }}\). Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ BKC}\) mamy \(\displaystyle{ |BC|^2=|BK|^2+|CK|^2-2|BK||CK|\cos{60^{\circ}}}\). Z tego i z faktu, że \(\displaystyle{ \sphericalangle CAK + \sphericalangle KAB =\sphericalangle BAC}\) wyznaczamy długość odcinków \(\displaystyle{ BK}\) i \(\displaystyle{ CK}\). Stosują tw. cosinusów dla trójkątów \(\displaystyle{ ACK \text{ i }ABK}\) wyznaczamy długość odcinka \(\displaystyle{ AK}\). Z tw. sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ACK}\) mamy \(\displaystyle{ | \sphericalangle ACK|}\)