Witam!
Takie zadanie:
Rozpatrzmy ciąg n-kątów foremnych wpisanych w okrąg o promieniu 1.
Uzasadnij, że pole takiego n-kąta jest równe:
\(\displaystyle{ P_{n}=\frac{1}{2}\cdot sin(\frac{360}{n})}\)
Prosiłbym o jakieś wytłumaczenie.
Z góry dzięki!
Pola wielokątów foremnych
-
Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
Pola wielokątów foremnych
Pole takiego wielokąta można zapisać też jako:
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}nR^{2}sin\frac{2\pi}{n}}\)
a to dlatego, że jest ono sumą n trójkątów równoramiennych o równych ramionach R, a wzór na pole takiego jednego trójkąta to:
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}R^{2}sin\frac{2\pi}{n}}\)
jeśli więc \(\displaystyle{ R=1}\) to podstawiając do pierwszego wzoru:
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}n1^{2}sin\frac{2\pi}{n}=\frac{1}{2}sin\frac{2\pi}{n}}\)
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}nR^{2}sin\frac{2\pi}{n}}\)
a to dlatego, że jest ono sumą n trójkątów równoramiennych o równych ramionach R, a wzór na pole takiego jednego trójkąta to:
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}R^{2}sin\frac{2\pi}{n}}\)
jeśli więc \(\displaystyle{ R=1}\) to podstawiając do pierwszego wzoru:
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}n1^{2}sin\frac{2\pi}{n}=\frac{1}{2}sin\frac{2\pi}{n}}\)