Oblicz cosinus kąta

[bliznieta07129]

Na trójkącie ostrokątnym ABC o bokach długości \(\displaystyle{ |AB| = 10 \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ BC = 5 \sqrt{5}}\) opisano okrąg o środku w punkcie O i promieniu 10. Oblicz cosinus kąta ABC.

[piasek101]

Środek O leży na przecięciu symetralnych boków -m masz gdzieś trójkąty prostokątne o danych dwóch bokach.

[bliznieta07129]

nie widzę tego...

[piasek101]

Zrób rysunek.

[bliznieta07129]

mam te trójkąty prostokątne, z nich mogę policzyć te kawałki symetralnych od środka okręgu do przecięcia się z bokiem, ale co mi to da?

[irena_1]

Zrób rysunek:
Trójkąt ABC, w którym masz \(\displaystyle{ |AB|=10\sqrt{3},\ \ |BC|=5\sqrt{5}}\)
K- środek boku AB, L- środek boku BC
O- środek okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Wtedy:
trójkąt KBO i trójkąt BLO to trójkąty prostokątne.
\(\displaystyle{ | \sphericalangle KBO|=\alpha\\| \sphericalangle LBO|=\beta\\| \sphericalangle ABC|=\gamma=\alpha+\beta\\|KO|=|LO|=10}\)
W trójkącie KBO:
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{5\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\sin\alpha=\frac{1}{2}}\)

W trójkącie LBO:
\(\displaystyle{ cos\beta=\frac{\frac{5\sqrt{5}}{2}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{4}\\sin\beta=\sqrt{1-\frac{5}{16}}=\frac{\sqrt{11}}{4}}\)

\(\displaystyle{ cos( \sphericalangle ABC)=cos\gamma=cos(\alpha+\beta)=cos\alpha\cdot\ cos\beta-sin\alpha\cdot\ sin\beta}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ cos\gamma=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{11}{8}}\)