Nie rozumiem wzoru

qwadrat · Post autor: **qwadrat** » 5 lip 2011, o 15:51

Jakim cudem osmiokąt wypukły moze miec 20 przekątnych? Wyliczam ze wzoru \(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\) i daje mi 20 przekątnych. Kurde to na logike przeciez wiadomo ze osiem kątow to 4 przekątne. Wyjasnijcie mi to!;/

wiskitki · Post autor: **wiskitki** » 5 lip 2011, o 16:08

Przecież ośmiokąt ma krótsze i dłuższe przekątne, z każdego kąta wychodzą chyba 4, ale trzeba odliczyć te co się powtarzają, więc może być ich 20

Spektralny · Post autor: **Spektralny** » 5 lip 2011, o 16:10

ares41 · Post autor: **ares41** » 5 lip 2011, o 16:25

Dowód tego wzorku jest prosty.
Załóżmy, że mamy \(\displaystyle{ n}\)-kąt foremny. Z każdego wierzchołka możemy wyprowadzić \(\displaystyle{ n-3}\) przekątne,
ponieważ nie możemy ich poprowadzić tylko do wierzchołków sąsiednich (2) i tego samego wierzchołka, z którego je wyprowadzamy.
W ten sposób możemy wyprowadzać przekątne z \(\displaystyle{ n}\) wierzchołków, więc ich liczba wynosi w tej chwili \(\displaystyle{ n(n-3)}\).
Jednak zauważamy, że każdą z przekątnych poprowadziliśmy "tam i z powrotem" więc ostatecznie ich liczba to \(\displaystyle{ l= \frac{n(n-3)}{2}}\)