Czy istnieje trapez o zadanych bokach

[Michas1415]

Witam.
Czy istnieje trapez o podstawach długości \(\displaystyle{ 12}\) i \(\displaystyle{ 17}\) oraz ramionach długości:
a)\(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 7}\)
b)\(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ 11}\)
c)\(\displaystyle{ 7}\) i \(\displaystyle{ 15}\)
d)\(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\)

a)-d) nie istnieje.

Proszę o sprawdzenie.

[Hausa]

Załóż sobie że trapez jest prostokątny (dla ułatwienia) i w zależności od długości ramion wylicz wysokość. Tylko wylicz wysokość z twierdzenia Pitagorasa. Jeżeli wysokość jest krótsza od obu ramion to wtedy nie da się zbudować trapezu.

w pierwszym podpunkcie - robisz rysunek pomocniczy, różnica między długościami podstaw (5) to jedna przyprostokątna naszego trójkąta, dłuższe ramię (7) jest przeciwprostokątną i teraz z twierdzenia Pitagorasa wyliczasz wysokość, czyli tę najmniejszą możliwą wysokość:

\(\displaystyle{ h= \sqrt{49-25}=\sqrt{24}}\)
krótsze ramię (oznaczmy jako c) ma długość 3, czyli \(\displaystyle{ c=3=\sqrt{9}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{24}>\sqrt{9}}\)
bo funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x}}\) jest rosnąca, czyli

\(\displaystyle{ h>c}\)

Czyli da się.

Reszta analogicznie

Jak coś niejasne to pytaj

[czeslaw]

Załóż sobie że trapez jest prostokątny (dla ułatwienia)

Dlaczego tak można?

[mat_61]

Jeżeli wysokość jest krótsza od obu ramion to wtedy nie da się zbudować trapezu.

Dlaczego tak miałoby być?

Wysokość trapezu musi być nie większa od długości każdego z ramion, żeby dało się zbudować taki trapez, ale jest to tylko warunek konieczny.

Zauważ jednak, że nie znasz wysokości trapezu a obliczona przez Ciebie wartość nie ma bezpośredniego związku (ja przynajmniej takiego nie widzę) z wysokością możliwego do zbudowania trapezu o podanych długościach boków (jeżeli taki istnieje). Pokazuje ona tylko, że nie da się zbudować trapezu prostokątnego o podanych długościach boków.

Warunek konieczny i wystarczający do zbudowania trapezu o podanych długościach podstaw i ramion:

Jeżeli okręgi o promieniach równych długościom ramion, których środki są oddalone o różnicę długości podstaw przecinają się to wówczas z podanych odcinków można zbudować trapez.

Skąd taki warunek:

Narysuj sobie dłuższą podstawę AB. Narysuj dwa okręgi o promieniach równych długościom ramion z punktów A i B. Jeżeli zbudowana figura ma być trapezem o podanych długościach boków, to odcinek CD (krótsza podstawa) musi być równoległa do AB a jego końce muszą leżeć na narysowanych okręgach.
Teraz wyobraź sobie, że jeden koniec odcinka CD porusza się po jednym z okręgów a odcinek CD jest cały czas równoległy do AB.
Jaką figurę zakreśla drugi koniec odcinka CD?
W jakim położeniu odcinka CD ten drugi koniec "znajdzie się na okręgu"?

[Hausa]

Tzn jeżeli wysokość będzie miała długość taką samą jak krótsze ramię, to wtedy da się zbudować trapez prostokątny, jeżeli "wysokość" wyjdzie krótsza to wtedy nie będzie to wysokość bo "nie dosięgnie" drugiej podstawy. Jeżeli wyszłaby dłuższa to mogę "przesunąć" dłuższą podstawę tak, żeby wysokość łączyła obie podstawy i wtedy da się zbudować trapez, który nie jest prostokątny. I jeszcze wysokość nie może być dłuższa od długości najdłuższego ramienia.
Nie wiedziałam, że jest takie twierdzenie więc robiłam swoim sposobem

[mat_61]

Ale tutaj nie chodzi o to jaki to jest sposób, tylko o to, czy jest on poprawny.

Tzn jeżeli wysokość będzie miała długość taką samą jak krótsze ramię, to wtedy da się zbudować trapez prostokątny

Niewątpliwie tak.

...jeżeli "wysokość" wyjdzie krótsza to wtedy nie będzie to wysokość bo "nie dosięgnie" drugiej podstawy.

Tego nie rozumiem. Od czego krótsza? Od długości drugiego ramienia? (tak wynikałoby z Twoich rachunków). Przecież wysokość (generalnie) musi być nie większa od długości krótszego ramienia

Jeżeli wyszłaby dłuższa to mogę "przesunąć" dłuższą podstawę tak, żeby wysokość łączyła obie podstawy i wtedy da się zbudować trapez, który nie jest prostokątny.

Także nie bardzo to rozumiem.

I jeszcze wysokość nie może być dłuższa od długości najdłuższego ramienia.

A może być dłuższa od krótszego ramienia?

Proponuję abyś dla sprawdzenia swojego sposobu rozumowania rozwiązała przykład b)

Długości z punktu b) spełniają warunki podanego przez Ciebie algorytmu:

\(\displaystyle{ h= \sqrt{11^2-5^2} = \sqrt{96} =4 \sqrt{6}}\)

Niewątpliwie \(\displaystyle{ 4 \sqrt{6}>5}\) oraz \(\displaystyle{ 4 \sqrt{6}<11}\) czyli wg Ciebie da się zbudować ten trapez.
Spróbuj więc to zrobić dla podanych długości boków (ewentualnie podaj długości przyprostokątnych któregoś z trójkątów utworzonych przez ramię i wysokość).

-- 26 cze 2011, o 14:27 --

Co do Twojego sposobu rozumowania:

Sprawdzanie "wysokości" dla założonego trapezu prostokątnego nic nie daje (z wyjątkiem szczególnego przypadku gdyby ta wysokość okazała się równa długości krótszego ramienia) ponieważ:

Jeżeli ta "wysokość" wyjdzie dłuższa od krótszego ramienia to o niczym to nie przesądza, bo zmniejszając kąt ostry pomiędzy dłuższym ramieniem i dłuższą podstawą uzyskujemy coraz mniejszą wysokość (dowolnie małą). Do momentu aż ta wysokość nie zacznie być mniejsza od krótszego ramienia nie jest oczywiście możliwe zbudowanie trapezu.
Pozostaje pytanie czy dla którejkolwiek z wysokości mniejszych od długości krótszego ramienia odległość pomiędzy "drugimi" końcami podstaw jest równa długości tego krótszego ramienia.

Analogicznie jest dla przypadku, gdy ta "wysokość" wyjdzie krótsza od krótszego ramienia.

Nawiązując do Twojego ostatniego warunku, to obliczona w ten sposób "wysokość" oczywiście nigdy nie może wyjść dłuższa niż dłuższe ramię. Przecież rachunkowo dłuższe ramię to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego a "wysokość" to jedna z jego przyprostokątnych.

[Michas1415]

Warunek konieczny i wystarczający do zbudowania trapezu o podanych długościach podstaw i ramion:

Jeżeli okręgi o promieniach równych długościom ramion, których środki są oddalone o różnicę długości podstaw przecinają się to wówczas z podanych odcinków można zbudować trapez.

Czyli to wystarczy do sprawdzenia czy z zadanych boków można zbudować trapez?

a) można
b) nie można
c) można
d) nie można

Czy to są poprawne odpowiedzi?

[mat_61]

Czyli to wystarczy do sprawdzenia czy z zadanych boków można zbudować trapez?

Tak, ale byłoby dobrze gdybyś starał się zrozumieć dlaczego tak jest.

a) można
b) nie można
c) można
d) nie można

Czy to są poprawne odpowiedzi?

Trzy tak, jedna nie. Sprawdź jeszcze raz.

[Michas1415]

Tak, ale byłoby dobrze gdybyś starał się zrozumieć dlaczego tak jest.

Staram się zrozumieć.

W b) okręgi są styczne i z tym podpunktem mam problem.

[mat_61]

W b) okręgi są styczne i z tym podpunktem mam problem.

Dla punktu b) promienie okręgów to \(\displaystyle{ r=5 \ R=11}\) natomiast odległość pomiędzy nimi wynosi \(\displaystyle{ L=5}\) Czy te okręgi są rzeczywiście styczne? Narysuj sobie te dwa okręgi.
Jaki jest warunek styczności okręgów?

Proponuję przypomnienie sobie (np. poszukanie w podręczniku, albo tutaj (punkt 3.1): ) warunków wzajemnego położenia dwóch okręgów.
Kiedy dwa okręgi przecinają się?

Okręgi styczne nie przecinają się, czyli w takim przypadku nie można zbudować trapezu.

[Michas1415]

W b) rzeczywiście nie są styczne... w d) też się nie przecinają. Chyba że się mylę...

[mat_61]

To jest prawda. Skoro w d) się nie przecinają, to nie można zbudować trapezu. W b) faktycznie nie są styczne, ale czy się przecinają?

[Michas1415]

Nie przecinają się w b) czyli też nie można zbudować trapezu.

[mat_61]

Tak. A co z punktami a) i c)

[Michas1415]

Trzy tak, jedna nie. Sprawdź jeszcze raz.

Chyba Trzy nie jedna tak w c) też się nie przecinają.