udowodnienie równości katów w równoległoboku

[Paulpentax]

Punkt \(\displaystyle{ P}\) lezy wewnatrz równoległoboku ABCD. Wykazac, ze jesli
\(\displaystyle{ \sphericalangle PBA = \sphericalangle PDA}\), to takze \(\displaystyle{ \sphericalangle PAB = \sphericalangle PCB}\).

[Burii]

Dokonaj translacji trójkąta \(\displaystyle{ APB}\) o wektor \(\displaystyle{ \vec{AD}}\). I niech obrazem punktu \(\displaystyle{ P}\) w tym przekształceniu będzie \(\displaystyle{ X}\). Wówczas z tego iż \(\displaystyle{ AD||PX}\) i równości kątów w zadaniu mamy iż czworokąt \(\displaystyle{ PCXD}\) jest wpisany w okręg. Stąd: \(\displaystyle{ \sphericalangle PCD= \sphericalangle DXP= \sphericalangle DAP}\), a z tego już wynika równość kątów z tezy.