czworokat wpisany w okrąg dowód
-
Paulina-Anna
- Użytkownik
- Posty: 201
- Rejestracja: 6 gru 2009, o 14:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 24 razy
czworokat wpisany w okrąg dowód
Zauważ, że jeżeli narysujesz dowolny trapez \(\displaystyle{ ABCD}\), dwusieczne oznaczysz jako \(\displaystyle{ AK, BL, CM, DN}\), to z założenia mamy, że \(\displaystyle{ \sphericalangle DAK = \sphericalangle KAB = x}\),
\(\displaystyle{ \sphericalangle ADN = \sphericalangle NDC = y}\), \(\displaystyle{ \sphericalangle ABL = \sphericalangle LBC = z}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle BCM = \sphericalangle MCD = w}\).
Ponadto w każdym trapezie miary kątów przy rym samym ramieniu sumują się do 180.
Zatem \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC+ \sphericalangle ADC=180^o \Leftrightarrow 2x+2y=180^o \Leftrightarrow x+y=180^o}\).
Zauważ, że jeśli oznaczysz powstały wewnątrz czworokąt jako \(\displaystyle{ OPQR}\), przy czym \(\displaystyle{ O}\) znajduje się przy boku \(\displaystyle{ AD}\), \(\displaystyle{ P}\) przy \(\displaystyle{ AB}\) itd, to
\(\displaystyle{ \sphericalangle DOA= \sphericalangle KON= \alpha}\), ale wcześniej dowiedliśmy, że
\(\displaystyle{ \sphericalangle NDA= \sphericalangle DAK=90^o}\), więc \(\displaystyle{ \sphericalangle DOA= \sphericalangle KON=90^o}\).
W identyczny sposób dowodzimy, ze \(\displaystyle{ \sphericalangle CQB= \sphericalangle LQM = 90^o}\)
Jest to więc prostokąt, a na każdym prostokącie można opisać okrąg.
\(\displaystyle{ \sphericalangle ADN = \sphericalangle NDC = y}\), \(\displaystyle{ \sphericalangle ABL = \sphericalangle LBC = z}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle BCM = \sphericalangle MCD = w}\).
Ponadto w każdym trapezie miary kątów przy rym samym ramieniu sumują się do 180.
Zatem \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC+ \sphericalangle ADC=180^o \Leftrightarrow 2x+2y=180^o \Leftrightarrow x+y=180^o}\).
Zauważ, że jeśli oznaczysz powstały wewnątrz czworokąt jako \(\displaystyle{ OPQR}\), przy czym \(\displaystyle{ O}\) znajduje się przy boku \(\displaystyle{ AD}\), \(\displaystyle{ P}\) przy \(\displaystyle{ AB}\) itd, to
\(\displaystyle{ \sphericalangle DOA= \sphericalangle KON= \alpha}\), ale wcześniej dowiedliśmy, że
\(\displaystyle{ \sphericalangle NDA= \sphericalangle DAK=90^o}\), więc \(\displaystyle{ \sphericalangle DOA= \sphericalangle KON=90^o}\).
W identyczny sposób dowodzimy, ze \(\displaystyle{ \sphericalangle CQB= \sphericalangle LQM = 90^o}\)
Jest to więc prostokąt, a na każdym prostokącie można opisać okrąg.