Równoległobok - wykazać równość pól trójkątów

[michal_z]

Dany jest równoległobok ABCD. Punkt E należy do boku AB, a punkt F do boku AD. Prosta EF przecina prostą CB w punkcie P, a prostą CD w punkcie Q. Wykaż, że pole trójkąta CEF jest równe polu trójkąta APQ.

(zadanie z ubiegłorocznego finału OMG)

[W_Zygmunt]

Trójkąty QCP i KQPsą przystające, Trójkąty AFE i KQP są podobne,
a stosunek podobieństwa wynosi
\(\displaystyle{ k\,=\,\frac{ |FE| }{ |QP| }}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \frac{ h_{1} }{ h_{2} }\,=\,\frac{ |FE| }{ |QP| }}\)
Pola rójkątów APQ i CEF
\(\displaystyle{ P_{\bigtriangleup APQ}\,=\, \frac{1}{2} (|QP|)\cdot h_{1}}\)
\(\displaystyle{ P_{\bigtriangleup CEF}\,=\, \frac{1}{2} (|FE|)\cdot h_{2}}\)
Jak widać pola są równe .