czworokąt opisany na okręgu

[justyna0811]

Mam problem z dowodem twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu, a dokładniej takim: Czworokąt można opisać na okręgu tylko wtedy, gdy dwusieczne wszystkich jego kątów przecinają się jednym punkcie, który jest środkiem okręgu.

[mat_61]

Zrób sobie rysunek czworokąta ABCD.

Wybierzmy dwa przeciwległe wierzchołki (bez start ogólności może to być np. wierzchołek A oraz C)

1. Środek okręgu S styczny do boków wychodzących z wierzchołka A (AB i AD) musi leżeć na prostej AS będącej dwusieczną kąta przy wierzchołku A

2. Środek okręgu S styczny do boków wychodzących z wierzchołka C (CB i DD) musi leżeć na prostej CS będącej dwusieczną kąta przy wierzchołku C

3. Z 1) i 2) wynika, że środek okręgu stycznego do wszystkich boków czworokąta, to punkt przecięcia prostych AS i CS.

4. Ponieważ styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego z punktu styczności, to środek S tego okręgu jest jednakowo odległy od wszystkich boków czworokąta.

5. Skoro odległość punktu S jest jednakowa od boku BA i boku BC, to prosta przechodząca przez punkty B i S jest .....

6. Skoro odległość punktu S jest jednakowa od boku DA i boku DC, to prosta przechodząca przez punkty D i S jest .....