wyznaczenie kata pomiedzy sieczna oraz srednica okregu

[Chromosom]

dany jest okrag o promieniu \(\displaystyle{ r}\) i srodku \(\displaystyle{ O}\), punkt \(\displaystyle{ A}\) znajdujacy sie w odleglosci \(\displaystyle{ r}\) od okregu. Sieczna okregu przechodzaca przez punkt \(\displaystyle{ A}\) przecina go w punktach \(\displaystyle{ C,D}\) tak ze \(\displaystyle{ |AC|=|CD|}\). Wyznaczyc kat utworzony przez sieczna oraz prosta w ktorej zawiera sie odcinek \(\displaystyle{ AO}\)

nie mam zadnego pomyslu na to zadanie. Probowalem narysowac te sytuacje w ukladzie kartezjanskim ale prowadzi to do skomplikowanych obliczen.

[piasek101]

Z kosinusów w trójkątach AOD i OCA próbowałeś ?

[Chromosom]

mowisz o zastosowaniu tw. cosinusow?

[piasek101]

Tak.

[Chromosom]

oznacze \(\displaystyle{ |AC|=|CD|=a}\) i wtedy mam uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases}r^2=4r^2+a^2-4ar\cos\alpha\\r^2=4r^2+4a^2-8ar\cos\alpha\end{cases}\\ \begin{cases}-12r^2-4a^2+16ar\cos\alpha=0\\3r^2+4a^2-8ar\cos\alpha=0\end{cases}}\)
po dodaniu stronami wyznaczam \(\displaystyle{ a}\) i otrzymuje
\(\displaystyle{ a=\frac{9}{8r\cos\alpha}}\)
i po podstawieniu do jednego z rownan otrzymuje wynik zalezny od \(\displaystyle{ r}\), w ktorym miejscu jest blad?

[piasek101]

(r) masz dane - nie sprawdzałem Twoich przekształceń (coś mi się forum ślimaczy), wyglądają na szybkiego ok.

[Chromosom]

spodziewalem sie ze wynik nie powinien zalezec od \(\displaystyle{ r}\) poniewaz zmiana tego parametru prowadzi jedynie do zmiany skali, nie stosunkow dlugosci, i rzeczywiscie uzyskalem taki wynik. Gdyby ktos mial kiedys problem z tym zadaniem, pomnozylem pierwsze z rownan pierwszego ukladu przez \(\displaystyle{ -2}\), po dodaniu stronami do drugiego uzyskalem zwiazek \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ r}\) co po przeksztalceniach doprowadzilo do uzyskania wartosci \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) niezaleznej od \(\displaystyle{ r}\). Dziekuje za pomoc

[piasek101]

Dzisiaj też na to looknąłem.

\(\displaystyle{ |CD|=|CA|=2x}\)

Poprowadź wysokość trójkąta ODC do jego podstawy, zobacz trójkąt prostokątny.
Z niego \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{3x}{2r}}\), jak wstawisz do tw kosinusów to uzależnisz (x) od (r) i wynik będzie konkretny.