trapez opisany na okręgu

pupiziel · Post autor: **pupiziel** » 28 maja 2011, o 12:32

Na okręgu o promieniu r opisano trapez którego kąty ostre przy podstawie mają miary \(\displaystyle{ \alpha i \beta}\). Oblicz P trapezu.

Bez danych liczbowych na samych literkach nie mogę sobie poradzić.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 28 maja 2011, o 12:45

Wysokość masz (tak sadzę).
Z funkcji trygonometrycznych wyznaczasz długość ramion.
Do tego masz warunek wpisywalności okręgu w czworokąt.

pupiziel · Post autor: **pupiziel** » 28 maja 2011, o 12:47

wysokość to jest 2r - bo nie mam żadnych liczb (ale to jest wiadoma)

ale jak liczę każdy bok to mam wszystko uzależnione od sin czy cos i to tych dwoch kątów... i pożniej sumując to nie daje sobie rady

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 28 maja 2011, o 12:49

Tak. I ten bok masz dany w trójkątach prostokątnych z których liczysz ramiona.

pupiziel · Post autor: **pupiziel** » 28 maja 2011, o 12:52

no to obliczyłem:

\(\displaystyle{ AD = \frac{2r}{sin \alpha }}\)
\(\displaystyle{ CB = \frac{2r}{sin \beta }}\)
\(\displaystyle{ AE = \frac{2r}{sin \alpha } \cdot cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ FB = \frac{2r}{sin \beta } \cdot cos \beta}\)

i w takiej postaci ma być?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 28 maja 2011, o 13:03

Nie wiem co to AD itp - nie mogę sprawdzać.

A dane (alfa) i (beta) powinny wystąpić w wyniku, jako funkcje trygonometryczne.

pupiziel · Post autor: **pupiziel** » 29 maja 2011, o 10:41

pomoże ktoś i ogarnie to co napisałem wcześniej.

oznaczenia:
trapez ABCD
AB jedna podstawa
DC druga podstawa
AD lewe ramię
CB prawe ramię

punkt E i F leży na podstawie AB
ED to wysokość po "lewej" stronie a FC po "prawej"

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 maja 2011, o 12:02

AE i FB niepotrzebnie wyznaczasz.

Mając ramiona - korzystasz z warunku o jakim pisałem wcześniej.

pupiziel · Post autor: **pupiziel** » 29 maja 2011, o 12:29

no to wtedy mam AB + DC = AD + BC

ale obie podstawy czyli AB + DC są niewiadome

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 maja 2011, o 12:50

pupiziel pisze:no to wtedy mam AB + DC = AD + BC

ale obie podstawy czyli AB + DC są niewiadome

Ok.

Do liczenia pola masz znać sumę ich długości (a nie musisz ich mieć oddzielnie) - i gra.

pupiziel · Post autor: **pupiziel** » 29 maja 2011, o 13:07

No fakt, masz rację.

Proszę jeszcze o spr:

\(\displaystyle{ AB + DC = \frac{2r}{sin \alpha } + \frac{2r}{sin \beta }}\)
\(\displaystyle{ AB + DC = \frac{2rsin \beta + 2rsin \alpha }{sin \alpha \cdot sin \beta }}\)
\(\displaystyle{ AB + DC = \frac{2r(sin \beta + sin \alpha )}{sin \alpha \cdot sin \beta }}\)
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \cdot \frac{2r(sin \beta + sin \alpha )}{sin \alpha \cdot sin \beta } \cdot 2r}\)
\(\displaystyle{ P = \frac{2 r^{2}(sin \alpha + sin \beta ) }{sin \alpha \cdot sin \beta }}\)