14-kąt foremny

[darek20]

14-kąt foremny o boku \(\displaystyle{ a}\) jest wpisany w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Pokaż że \(\displaystyle{ \[ \frac{2-a}{2 a}>\sqrt{3\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)} \]}\)

[kamil13151]

Narysuj sobie byle jaki wielokąt foremny, przykładowo 5 bądź 6 kąt, opisz na nim okrąg. Zauważ, że możesz ten wielokąt podzielić na kilka takich samych trójkątów równoramiennych w zależności od ilości boków. Ramię trójkąta równorammiennego to promień, czyli 1. Teraz obliczmy ile wynosi kąt między ramionami, czyli \(\displaystyle{ 360 : 14}\), bo są to jednakowe trójkąty równoramienne. Teraz korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy obliczyć ile wynosi bok a, podziel ten trójkąt na pół, powstanie wtedy trójkąt prostokątny, użyj sinusa. Teraz to już koniec zadania, myślę że już sobie poradzisz. \(\displaystyle{ \pi = 180 ^{\circ }}\) jakby co .

[darek20]

Narysuj sobie byle jaki wielokąt foremny, przykładowo 5 bądź 6 kąt, opisz na nim okrąg. Zauważ, że możesz ten wielokąt podzielić na kilka takich samych trójkątów równoramiennych w zależności od ilości boków. Ramię trójkąta równorammiennego to promień, czyli 1. Teraz obliczmy ile wynosi kąt między ramionami, czyli \(\displaystyle{ 360 : 14}\), bo są to jednakowe trójkąty równoramienne. Teraz korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy obliczyć ile wynosi bok a, podziel ten trójkąt na pół, powstanie wtedy trójkąt prostokątny, użyj sinusa. Teraz to już koniec zadania, myślę że już sobie poradzisz. \(\displaystyle{ \pi = 180 ^{\circ }}\) jakby co .

po co wyliczac \(\displaystyle{ a}\), przeciez jest dane

[kamil13151]

Nie mamy podanego \(\displaystyle{ a}\), mamy tylko promień, a wyliczamy po to by podstawić do nierówności.

[darek20]

bok 14-kata wynosi \(\displaystyle{ a}\)

[timon92]

szkic:
wpierw można sobie policzyć, że \(\displaystyle{ a=2 \sin \frac \pi {14}}\)

ponadto \(\displaystyle{ \cos \frac \pi 7 = 1 - 2 \sin^2 \frac \pi {14}}\)

zatem tę nierówność można przepisać jako \(\displaystyle{ \frac{1-t}{2t}>\sqrt{3(1-2t^2)}}\), gdzie \(\displaystyle{ t= \sin \frac \pi {14}}\)

to zaś można przekształcić do \(\displaystyle{ 24t^3-11t^2-2t+1>0 \iff (t - \frac{1-\sqrt{33}}{4})(t-\frac 13)(t - \frac{1+\sqrt{33}}{4}) > 0}\)

no i skoro \(\displaystyle{ t>0}\), to wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ t< \frac 13}\)

a to można uzyskać np. poprzez szacowanie \(\displaystyle{ \sin \frac \pi {14} < \sin \frac \pi {12}}\) i obliczenie wartości \(\displaystyle{ \sin \frac \pi {12}}\) i pokazanie, że jest \(\displaystyle{ < \frac 13}\)