Obliczanie długości łuku na podstawie długości cięciwy

[ebola72]

Witam

Lekko nietypowe zadanie.


Dane:
Długość cięciwy = 410
Odległość cięciwy od krawędzi okręgu = 52

1. Jak obliczyć długość łuku okręgu znając jedynie długość cięciwy oraz jej odległość od krawędzi tegoż okręgu?

2. Jak obliczyć promień okręgu znając powyższe dane?

W załączeniu rysunek takiej sytuacji.

[irena_1]

Przedłuż odcinek wyznaczający odległość do środka okręgu. Odległość cięciwy od środka okręgu wynosi r-52.
Poprowadź promień okręgu do końca cięciwy, otrzymasz trójkąt prostokątny. Promień r wyliczysz z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ r^2=105^2+(r-52)^2}\)
Połowę kąta środkowego wyznaczający łuk możesz teraz obliczyć z tangensa
\(\displaystyle{ tg(\frac{\alpha}{2})=\frac{105}{r-52}}\)
Jak obliczysz kąt środkowy, to teraz już prosto-
\(\displaystyle{ L=\frac{\alpha}{360}\cdot2\pi r}\)

[ebola72]

Po podsumowaniu porad wyszły mi poniższe obliczenia.



Jedno co mnie silnie dziwi, to to że wykorzystując cosinus, czyli

\(\displaystyle{ sin( \frac{\alpha}{2})= \frac{205}{430,09}}\)

wychodzą całkiem inne wartości kąta środkowego.

W moim przypadku było to \(\displaystyle{ 52,57^{o}}\)



Jak to jest możliwe?
W jakim miejscu popełniam błąd?

[irena_1]

\(\displaystyle{ r^2=105^2+(r-52)^2}\)
Połowę kąta środkowego wyznaczający łuk możesz teraz obliczyć z tangensa
\(\displaystyle{ tg(\frac{\alpha}{2})=\frac{105}{r-52}}\)
Jak obliczysz kąt środkowy, to teraz już prosto-
\(\displaystyle{ L=\frac{\alpha}{360}\cdot2\pi r}\)

Tam powinno być 205, a nie 105. Przepraszam

\(\displaystyle{ r^2=42025+r^2-104r+2704\\104r=39321\\r\approx378,09}\)

\(\displaystyle{ tg(\frac{\alpha}{2})\approx\frac{205}{326,09}\approx0,6287\\\frac{\alpha}{2}\approx32^010'\\\alpha\approx64^020'}\)