Czworokąt wpisany w okrąg

[kamil13151]

W okrąg o środku \(\displaystyle{ O}\) i promieniu długości \(\displaystyle{ 4}\) wpisano czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ |AB|=|BC|}\)oraz \(\displaystyle{ |\sphericalangle ADC| = 120^{\circ }}\). Stosunek pola trójkąta \(\displaystyle{ ADB}\) do pola trójkąta \(\displaystyle{ DCB}\) wynosi \(\displaystyle{ 3:1}\). Oblicz obwód i pole czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\).



Obliczyłem tylko długość \(\displaystyle{ |AB|=|BC|=4 \sqrt{3}}\), zauważyłem że trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoboczny, ale jak dalej to zadanie zrobić to już nie mam pomysłu.

[anna_]

\(\displaystyle{ |AC|=4 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ |AD|=x}\)
\(\displaystyle{ |DC|=y}\)

\(\displaystyle{ P_{ADB}= \frac{4 \sqrt{3} x sin\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ P_{DCB}= \frac{4 \sqrt{3} y sin (180^o-\alpha)}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{3} x sin\alpha}{2} =3 \cdot \frac{4 \sqrt{3} y sin (180^o-\alpha)}{2}}\)
stąd masz:
\(\displaystyle{ x=3y}\)

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ADC policzysz \(\displaystyle{ y}\)

[kamil13151]

Nie wychodzi mi coś...

\(\displaystyle{ \left( 4 \sqrt{3} \right) ^{2} = 9y^2+y^2-2 \cdot 3y^2 \cdot \cos 120 ^{\circ }}\)

Stąd \(\displaystyle{ y= \sqrt{ \frac{48}{13} }}\)
Te 48 mi nie pasuje...

[anna_]

Wyszło mi tyle samo.
Nie widzę błędu.

Masz do tego odpowiedź?

[kamil13151]

Jest to zadanie ze zbioru arkuszy maturalnych Pazdro, dział 6.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ Obw=8 \sqrt{3}+ \frac{16 \sqrt{39} }{13} \ \ i \ \ P= \frac{192}{13} \sqrt{3}}\)

Jednak mam już dobrze Dzięki!