Ktory z wzorow opisuje [przeksztalcenie izometryczne

[lobuziak]

\(\displaystyle{ P((x,y))\,=\,( - x,y + 1)}\)
\(\displaystyle{ P((x,y))\,=\,(2x, - y)}\)
\(\displaystyle{ P((x,y))\,=\,(x, - y)}\)
Moglby ktos mi napisac jak tego dowiesc?

[kuch2r]

przeksztalcenie izometryczne, jest to przeksztalcenie ktore zachowuje odleglosci miedzy punktami.
\(\displaystyle{ P((x,y))=(x,-y)}\) jest przeksztalceniem izometrycznym

[lobuziak]

ok, jak sobie wezme to na chlopski rozum to widze ze to jest odbite przez OX
Jak jednak dowiesc tego ze to jest izometria
Nie napisze przeciez ze to jest izometria dlatego ze to widac.,...
Jak to zapisac?

[Lorek]

przeksztalcenie izometryczne, jest to przeksztalcenie ktore zachowuje odleglosci miedzy punktami

Zastanów się jak to sprawdzić.

[kuch2r]

zaszlo male nieporozumienie...
ogolnie:
odwzorowanie \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) z przestrzeni metrycznej X z metryką \(\displaystyle{ dX}\) do Y z metryką \(\displaystyle{ dY}\) nazywamy izometrią, jeżeli dla dowolnych dwóch punktów \(\displaystyle{ x1, x2 X}\) spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ d_x(f(x_1),f(x_2))=d_y(x_1,x_2)}\)
Innymi słowy, odległość między odpowiednimi punktami w obrazie jest taka sama jak odległość między tymi punktami.
W naszym przypadku rozpatrujemy odwzorowanie:
\(\displaystyle{ p:R^2\to R^2}\) gdzie \(\displaystyle{ dX,dY}\) metryki euklidesowe.

Metryke euklidesowa na \(\displaystyle{ R^2}\) definiujemy w nastepujacy sposob:
\(\displaystyle{ d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}\)

Wezmy teraz dowolne 2 punkty \(\displaystyle{ (x_1,y_1),(x_2,y_2)}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}\)
Nastepnie wezmy 2 dowolne punkty z obrazu \(\displaystyle{ p((x_1,y_1))=(x_1,-y_1), p((x_2,y_2))=(x_2,-y_2)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ d(p((x_1,y_1)),d((x_2,y_2))=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(-y_1+y_2)^2}}\)
mam nadzieje ze teraz jest wszystko zrozumiale, staralem sie nie uzywac skrotow myslowych
Zatem:
\(\displaystyle{ d(p((x_1,y_1)),d((x_2,y_2))=d((x_1,y_1),(x_2,y_2))}\)
Wniosek:
Przeksztalcenie \(\displaystyle{ p:R^2\to R^2}\) gdzie \(\displaystyle{ p((x,y))=(x,-y)}\) jest przeksztalceniem izometrycznym

[lobuziak]

Dzieki, wlasnie o to mi chodzilo
Juz wiem jak to sie symbolicznie zapisuje
Wielkie dzieki Kuch2r, jestess wielki