trapez; punkty na płaszczyźnie

[adi0201]

1) Ramię i krótsza podstawa trapezu równoramiennego mają odpowiednio długości
10cm i 15cm. Kąt trapezu przy dłuższej podstawie ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\) . Wyznacz obwód
tego trapezu w zależności od kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) . Dla jakiego \(\displaystyle{ \alpha}\) obwód wynosi 60cm?

2) Na płaszczyźnie obrano n punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe. Przez
każdą parę punktów prowadzimy prostą. Przy jakim n liczna prostych jest cztery razy
większa od liczby punktów? Dla obliczonej wartości n wyznacz liczbę przekątnych
utworzonego n-kąta.

będę wdzięczny za wskazówki i obliczenia

[Dakurels]

1)
\(\displaystyle{ L=2(a+b+a \cos \alpha)}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) to długość ramienia a \(\displaystyle{ b}\) to krótsza podstawa
\(\displaystyle{ 60=2(10+15+10 \cos \alpha)}\)
\(\displaystyle{ 30=10+15+10 \cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = 0.5}\)
Ponieważ kąt musi być ostry to \(\displaystyle{ \alpha = 30^o}\)

2)
Mając \(\displaystyle{ n}\) punktów liczba różnych par punków wynosi \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) i tyle mamy prostych. Wystarczy teraz rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \frac{n!}{2(n-2)!}=4n}\)
\(\displaystyle{ n*(n-1)=8n}\)
\(\displaystyle{ n-1=8}\)
\(\displaystyle{ n=9}\)

A n-kąt ma \(\displaystyle{ {n \choose 2}-n}\) przekątnych. Więc w tym wielokącie mamy \(\displaystyle{ 27}\) przekątnych.

[adi0201]

dzięki wielkie