trapez prostokątny i jego przekątne.

[graham]

Punkt M jest punktem wspólnym przekątnych trapezu prostokątnego ABCD. Punkt N jest punktem wspólnym przekątnej BD i wysokości CE opuszcoznej na dłuższą podstawę AB. Wykaż, że \(\displaystyle{ \left| DM\right| ^2 = \left| MN\right| * \left| MB\right|}\)

Rysunek:


Proszę o pomoc z tym zadaniem

[tometomek91]

Ponieważ \(\displaystyle{ [BMC]=[AMD]}\), to wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{MC}{AM}=\frac{NM}{DM}}\), co jest konsekwencją podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ AMD}\) i \(\displaystyle{ MNC}\).

[graham]

Ponieważ \(\displaystyle{ [BMC]=[AMD]}\), to wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{MC}{AM}=\frac{NM}{DM}}\), co jest konsekwencją podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ AMD}\) i \(\displaystyle{ MNC}\).

a dlaczego \(\displaystyle{ [BMC]=[AMD]}\)? Nie rozumiem i tak co mam z tym zrobic i dlaczego zeby doprowadzic do \(\displaystyle{ \left| DM\right| ^2 = \left| MN\right| * \left| MB\right|}\) ...

ok rozumiem ze sa podobne i dlaczego, ale nie wiem jak dalej dojsc do postaci ktora zadaja udowodnic w poleceniu :/

[tometomek91]

Sorki, trochę zbyt ogólnie napisałem..
Mamy:
\(\displaystyle{ \left| DM\right| ^2 = \left| MN\right| \cdot \left| MB\right|}\)
równoważnie:
\(\displaystyle{ \frac{|DM|}{|MB|}=\frac{|MN|}{|DM|}}\)
Czyli trzeba pokazać, że stosunek pól trójkatów BMC i DMC jest taki sam jak DMC i MNC, ale pola trójkątów BMC i AMD są takie same, więc mamy do pokazania, że \(\displaystyle{ \frac{AM}{MC}=\frac{DM}{MN}}\). Jest to prawdą, bo trójkąty AMD i MNC są podobne.

[graham]

juz rozumiem, wielkie dzieki kurcze matura za chwile, a ja sie wlasnie takich zadan obawiam, nienawidze planimetrii zwlaszcza typu "wykaz" jeszcze raz dzieki