Trzy punkty - suma odległośći między nimi

[Miix]

Witam!
Potrzebuję pomocy w zadaniu. Treści dokładnie nie znam napiszę to co podał mi mój nauczyciel.

Mamy trzy punkty A, B, C, które leżą tak jak na rysunku. Gdzie powinien leżeć punkt C tak, aby:
a) suma odległości |AC| i |BC| była minimalna
b) suma kwadratów tych odległości była minimalna

[anna_]

Punkt C ma leżeć na tej narysowanej prostej?

[Mistrz]

Jeżeli pytasz o to, gdzie na tej prostej powinien leżeć C, zakładając, że A i B są ustalone, to już odpowiadam.

Oznaczmy tę prostą przez \(\displaystyle{ k}\)
a)
Narysuj punkt \(\displaystyle{ D}\) symetryczny do \(\displaystyle{ B}\) względem \(\displaystyle{ k}\). Gdzie powinien leżeć punkt \(\displaystyle{ C}\), aby \(\displaystyle{ \left|AC\right| + \left|CD\right|}\) była najmniejsza? To oczywiste: na odcinku \(\displaystyle{ AD}\). No ale dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ X}\) na prostej \(\displaystyle{ k}\) mamy \(\displaystyle{ \left|XB\right| = \left|XD\right|}\), a zatem wyznaczenie punktu \(\displaystyle{ C}\) tak, aby \(\displaystyle{ \left|AC\right| + \left|CB\right|}\) była najmniejsza jest równoważne temu, aby \(\displaystyle{ \left|AC\right| + \left|CD\right|}\) była najmniejsza.
b)
Narysuj punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) będące rzutami prostopadłymi punktów, odpowiednio, \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ k}\). Ile wynosi \(\displaystyle{ \left|AC\right|^2 + \left|CB\right|^2}\)? Z twierdzenia Pitagorasa jest to \(\displaystyle{ \left|AE\right|^2 + \left|EC\right|^2 + \left|CF\right|^2 + \left|FB\right|^2}\). Składniki \(\displaystyle{ \left|AE\right|^2}\) oraz \(\displaystyle{ \left|BF\right|^2}\) są stałe (niezależne od wyboru punktu \(\displaystyle{ C}\)), tak więc chcemy jedynie zminimalizować sumę \(\displaystyle{ \left|EC\right|^2 + \left|CF\right|^2}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ \left|EC\right|=x}\), \(\displaystyle{ \left|CF\right|=y}\), \(\displaystyle{ \left|EF\right|=a}\). Oczywiście \(\displaystyle{ a}\) jest stałe i równe \(\displaystyle{ x+y}\).
\(\displaystyle{ x^2+y^2=\frac{x^2+2xy+y^2}{2} + \frac{x^2-2xy+y^2}{2}=\frac{(x+y)^2}{2} + \frac{(x-y)^2}{2} \ge \frac{(x+y)^2}{2} = \frac{a^2}{2}}\)
przy czym równość zachodzi w tej nierówności wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x=y}\). To rozwiązuje nasz problem: \(\displaystyle{ x=y=\frac{a}{2}}\), czyli punkt \(\displaystyle{ C}\) powinien leżeć na środku odcinka \(\displaystyle{ EF}\).

[Miix]

Wielkie dzięki, ale w podpunkcie b) nie rozumiem jeszcze co zrobiłeś w tym momencie:

\(\displaystyle{ \frac{(x+y)^2}{2} + \frac{(x-y)^2}{2} \ge \frac{(x+y)^2}{2}}\)

[Crizz]

\(\displaystyle{ \frac{(x+y)^2}{2} + \frac{(x-y)^2}{2} \ge \frac{(x+y)^2}{2}}\)
wynika z dodania stronami nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{(x+y)^2}{2}} \ge \frac{(x+y)^2}{2}}\) (oczywista)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{(x-y)^2}{2} \ge 0}\) (kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny)

[Miix]

Rozumiem, te dwie nierówności, ale nie do końca wiem skąd w ogóle nam się wzięła ta nierówność w rozwiązaniu. W sensie mamy równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2}\) rozpisujemy je i nagle tworzymy nierówność z dwóch zupełnie innych nierówności.

Oraz jeszcze skoro już mamy tę nierówność to dlaczego jej rozwiązaniem jest tylko \(\displaystyle{ x=y=\frac{a}{2}}\) skoro nierówność może mieć więcej rozwiązań?

[Mistrz]

No to tak:
Skąd się wzięła ta nierówność w rozwiązaniu: otóż zawsze jeśli mamy sumę jakiś dwóch nieujemnych składników (u nas \(\displaystyle{ \frac{(x+y)^2}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{(x-y)^2}{2}}\)) to można napisać, że ta suma jest co najmniej taka, jak jeden z nich.
Druga sprawa: tu nie chodzi o to, że ta nierówność ma jakieś tam rozwiązania. Tu chodzi o to, że ta nierówność (przy danym \(\displaystyle{ a}\)) jest prawdziwa dla każdych \(\displaystyle{ x,y}\) dodatnich, sumujących się do \(\displaystyle{ a}\). Co nam to daje: otóż dzięki tej nierówności dostaliśmy ograniczenie z dołu na liczbę \(\displaystyle{ x^2+y^2}\). Dalej, zauważ coś takiego: jeśli \(\displaystyle{ x \ne y}\) to \(\displaystyle{ \frac{(x-y)^2}{2}>0}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ \frac{(x+y)^2}{2} + \frac{(x-y)^2}{2} > \frac{(x+y)^2}{2}}\). Jeśli natomiast \(\displaystyle{ x=y}\) to \(\displaystyle{ \frac{(x-y)^2}{2}=0}\) i stąd \(\displaystyle{ \frac{(x+y)^2}{2} + \frac{(x-y)^2}{2} = \frac{(x+y)^2}{2}}\). Stąd wynika, że dla \(\displaystyle{ x=y}\) jest \(\displaystyle{ x^2+y^2=\frac{a^2}{2}}\), a dla \(\displaystyle{ x\ne y}\) jest \(\displaystyle{ x^2+y^2>\frac{a^2}{2}}\). To oznacza, że minimalna wartość wyrażenia \(\displaystyle{ x^2+y^2}\) jest dla \(\displaystyle{ x=y}\).

[Miix]

Wielkie dzięki, już wszystko rozumiem -- 3 maja 2011, o 22:38 --A jeszcze jedno: w podpunkcie a) jak znaleźć ten punkt na współrzędnych bo w podpunkcie b) jest to dosyć proste, a w a) ?