miara kąta

v_vizis · Post autor: **v_vizis** » 26 kwie 2011, o 15:53

Wyznacz miarę kąta \(\displaystyle{ \alpha}\):
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\sin \alpha =\cos \alpha +1}\)

Pozdrawiam

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 26 kwie 2011, o 15:58

bedzie trudno... to ma byc jakieś równanie?

v_vizis · Post autor: **v_vizis** » 26 kwie 2011, o 16:04

mała pomyłka, ale już poprawiona.

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 26 kwie 2011, o 16:12

Do kwadratu podnieś, a potem jedynka trygonometryczna.

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 26 kwie 2011, o 16:13

no to dokładając do tego jedynkę trygonometryczną mamy do rozwiązania zwykły układ równań

(lub mozna kosinus przenieść na lewo i zwinąć lewą stronę ze wzoru na kosinus sumy (lub sinus różnicy) ale chyba łatwiej z tą jedynką jednak...)

v_vizis · Post autor: **v_vizis** » 26 kwie 2011, o 17:53

Po podniesieniu do kwadratu, jeśli przeniosę \(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha}\) na lewą stronę nie otrzymam jedynki trygonometrycznej, a zapisując 1 za pomocą sin, cos niczego nie mogę zwinąć. Jeśli możecie to rozpiszcie proszę to równanie

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 26 kwie 2011, o 20:01

v_vizis pisze:Po podniesieniu do kwadratu, jeśli przeniosę \(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha}\) na lewą stronę nie otrzymam jedynki trygonometrycznej

FACE PALM!

\(\displaystyle{ \sqrt{3}\sin \alpha =\cos \alpha +1}\)

\(\displaystyle{ 3\sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 1}\)

Teraz jedynka trygonometryczna: \(\displaystyle{ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1}\), czyli:
\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha = - \cos^2 \alpha + 1}\)

Podstawiamy:

\(\displaystyle{ 3(- \cos^2 \alpha + 1) = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 1}\)

\(\displaystyle{ -3 \cos^2 \alpha + 3 = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha + 1}\)

\(\displaystyle{ 4 \cos^2 \alpha +2 \cos \alpha -2 =0}\)

\(\displaystyle{ 2 \cos^2 \alpha + \cos \alpha -1 =0}\)

Teraz metoda podstawiania i równanie kwadratowe, pamiętaj o założeniach

v_vizis · Post autor: **v_vizis** » 26 kwie 2011, o 20:17

Dzięki wszystkim

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 27 kwie 2011, o 07:55

kamil13151, a możemy sobie tak bezkarnie podnosić stronami do kwadratu? oczywiście, że nie.

Spospób na zadanie został podany w moim drugim poście

zidan3 · Post autor: **zidan3** » 27 kwie 2011, o 09:37

tometomek91 pisze:kamil13151, a możemy sobie tak bezkarnie podnosić stronami do kwadratu? oczywiście, że nie.

Spospób na zadanie został podany w moim drugim poście

W tym przypadku nie moge sie dopatrzyc dlaczego nie mozemy podniesc do kwadratu.
Dlaczego ?

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 27 kwie 2011, o 10:16

zidan3 pisze: W tym przypadku nie moge sie dopatrzyc dlaczego nie mozemy podniesc do kwadratu.
Dlaczego ?

Nie mamy pewności, że obie strony równania są nieujemne. Chcąc rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 2x=3}\) w liczbach rzeczywistcyh, podnosząc do kwadratu, otrzymalibyśmy, że jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ -\frac{3}{2}}\)!

Przy pewnych założeniach, możnabyłoby rozwiązać zadanie w ten sposób.

zidan3 · Post autor: **zidan3** » 27 kwie 2011, o 10:19

Masz racje, dzieki.

v_vizis · Post autor: **v_vizis** » 27 kwie 2011, o 15:13

Co musimy zrobić, aby to moje równanie podnieść "bezkarnie do kwadratu"? Jakie powinnam wyznaczyć warunki?

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 27 kwie 2011, o 15:22

Obydwie strony równania nieujemne, czyli:
\(\displaystyle{ cos \alpha +1 \ge 0}\) co jest spełnione dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\)
i
\(\displaystyle{ \sqrt{3}sin \alpha \ge 0}\)
co jest znów spełnione dla \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 2k\pi; (2k+1)\pi \right)=A}\) i \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\).
Podnosząc teraz do kwadratu znajdziemy jedynie wszystkie \(\displaystyle{ \alpha}\), które należą do przedziału A.

Należy teraz rozpatrzeć alfy należące do \(\displaystyle{ \mathbb{R} -A}\). W jaki sposób? na razie nie mam pomysłu...

Najlepszym rozwiązaniem dla tego zadania jest mimo wszystko:

tometomek91 pisze:no to dokładając do tego jedynkę trygonometryczną mamy do rozwiązania zwykły układ równań

(lub mozna kosinus przenieść na lewo i zwinąć lewą stronę ze wzoru na kosinus sumy (lub sinus różnicy) ale chyba łatwiej z tą jedynką jednak...)

v_vizis · Post autor: **v_vizis** » 27 kwie 2011, o 15:31

Dzięki, a czy w każdym zadaniu gdy jakieś wyrażenie podnoszę do kwadratu muszę zastanowić się nad jego znakiem? i dlaczego w tym przykładzie jest on taki ważny?