trapez, równoległobok, plac osiedlowy, kilka zadań

[Qba93]

Witam,

Potrzebuję pomocy z kilkoma zadania podsumowującymi dział Planimetria, część 2 z książki Matematyka. Poznać Zrozumieć wydawnictwa WSIP. Niektóre z nich rozwiązałem sam, ale z tymi nie mogę sobie poradzić. Są to zadania z poziomu rozszerzonego więc twierdzenia sinusów czy cosinusów też wchodzą w grę.

1. W równoległoboku ABCD o bokach długości 10 cm i 6 cm poprowadzono prostą EF, która wyznacza równoległobok EBCF podobny do równoległoboku ABCD. Oblicz obwód równoległoboku EBCF.

2. Plac osiedlowy ma kształt czworkąta o powierzchni 0,52 ha. Wewnątrz placu wydzielono parking samochodowy, również w kształcie czworokąta, o powierzchni 104 metrów kwadratowych. Oba czworokąty są figurami jednokładnymi. Plac i parking trzeba ogrodzić siatką. Ile razy więcej siatki potrzeba na ogrodzenie całego placu niż na ogrodzenie parkingu?

3. W trójkącie równoramiennym ABC kąt przy wierzchołku C ma miarę 120 stopni. Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

4. Ramiona trapezu ABCD opisanego na okręgu mają długości 3 dm i 5 dm. Odcinek łączący środki ramion trapezu dzieli go na dwie figur, których stosunek pól to 5 : 11. Oblicz długość podstaw trapezu.

5. Kąt ostry równoległoboku ma miarę 30 stopni. Przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie S oddalonym od jego boków odpowiednio o 4 cm i 12 cm. Oblicz długość krótszej przekątnej równoległoboku.

6. Podstawy trapezu mają długości 5 cm i 12 cm. Miara kątów ostrych przy dłuższej podstawie wynoszą 30 stopni i 45 stopni. Oblicz pole tego trapezu.

Proszę o odpowiedź, bo mam wrażenie że będę w środę albo w piątek z tego pytany.

Z góry dziękuję.

Pozdrawiam

Kuba

[zidan3]

6.
\(\displaystyle{ h \sqrt{3} +h+5=12}\)
\(\displaystyle{ h( \sqrt{3}+1)=8}\)
\(\displaystyle{ h=4 \sqrt{3} -4}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot (5+12)(4 \sqrt{3} -4)=17(2 \sqrt{3} -2)}\)

-- 25 kwi 2011, o 23:36 --

3.
\(\displaystyle{ h \sqrt{3}= \frac{1}{2}a}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{6}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{6} \cdot a= \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{12}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{12}= \frac{ \frac{a \sqrt{3} }{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{3} \cdot a }{4R}}\)
\(\displaystyle{ R= \frac{a \sqrt{3} }{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{12}= \frac{1}{2} \cdot r( \frac{a \sqrt{3}+a \sqrt{3} +3a }{3})}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{a \sqrt{3} }{4 \sqrt{3} +4}}\)
nie usuwam niewymiernosci z mianownika bo i tak bedziemy liczyc stosunek.

\(\displaystyle{ \frac{R}{r}= \frac{a \sqrt{3} }{3} \cdot \frac{4 \sqrt{3} +4}{a \sqrt{3} } = \frac{4 \sqrt{3}+4 }{3}}\)

Proszę sprawdzić, o tej porze mogłem zrobic jakis błąd rachunkowy.

[Qba93]

Dzięki, podaję od razu odpowiedzi do wszystkich zadań:

1. 19,2 cm
2. \(\displaystyle{ 5 \sqrt{2}}\) razy
3. \(\displaystyle{ \frac{6+4 \sqrt{3} }{3}}\)
4. 1 dm, 8 dm
5. \(\displaystyle{ 16 \sqrt{10-3 \sqrt{3} }}\) cm
6. \(\displaystyle{ \frac{21( \sqrt{3}-1) }{4}}\)

Jakbym jeszcze mógł prosić o krótkie wyjaśnienie "skąd to się wzięło?". Dzięki.