trapez prostokątny

[Pawel1906]

W trapez prostokątny \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisano okrąg, przyczym punkt \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem tego okręgu, a punkt \(\displaystyle{ T}\) jest punktem styczności okręgu wpisanego z dłuższym ramieniem \(\displaystyle{ BC}\). Oblicz pole tego trapezu, jeśli \(\displaystyle{ \left|SC\right|=10}\) i \(\displaystyle{ \left| BT\right|=8 \sqrt{5}}\).

[piasek101]

BCS jest prostokątny.

[lukasz1804]

Wystarczy znaleźć długość promienia \(\displaystyle{ r}\) okręgu wpisanego w trapez (wysokość trapezu ma długość \(\displaystyle{ 2r}\), dłuższa podstawa ma długość \(\displaystyle{ r+|BT|}\), krótsza podstawa ma długość \(\displaystyle{ r+\sqrt{|SC|^2-r^2}}\)).
W tym celu rozważ trójkąt \(\displaystyle{ BSC}\). Jest on prostokątny (sprawdź!), wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego jest \(\displaystyle{ ST}\) - przy tym \(\displaystyle{ |ST|=r}\). Trójkąty \(\displaystyle{ BST, CST}\) są podobne na mocy cechy kkk podobieństwa trójkątów. W szczególności mamy \(\displaystyle{ \frac{|ST|}{|SC|}=\frac{|BT|}{|SB|}}\), co więcej \(\displaystyle{ |SB|=\sqrt{|ST|^2+|BT|^2}=\sqrt{r^2+|BT|^2}}\).

[Pawel1906]

ok dzięki, chodziło mi głównie o to czy trójkąt BCS jest prostokątny ale już doszedłem że jest. dzięki