Trójkąt prostokątny

[rafaluk]

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy kwadratów długości przyprostokątnych do kwadratu długości przeciwprostokątnej jest równy \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\). Wyznacz miary kątów ostrych tego trójkąta.

Wydukałem:

\(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2 \wedge \frac{a^2-b^2}{c^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ a^2-b^2=\frac{\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2}) \\ \\ a^2(1-\frac{\sqrt{3}}{2})-b^2(1+\frac{\sqrt{3}}{2})=0}\)

Gdyby nie ten plus w drugim nawiasie...

[kamil13151]

Wpadł mi do głowy pomysł, ale nie wiem czy będzie dobry.

\(\displaystyle{ \frac{a^2-b^2}{c^2}= \frac{a^2}{c^2} - \frac{b^2}{c^2}}\)

Teraz funkcje trygonometryczne:

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{c^2} - \frac{b^2}{c^2}=\sin^2 \alpha -\cos^2 \alpha}\)

\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha -\cos^2 \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

Teraz zastosować jedynkę trygonometryczną?

[rafaluk]

\(\displaystyle{ \sin ^2 \alpha -(1-\sin ^2 \alpha)=2\sin ^2 \alpha -1 \\ \\ 2\sin ^2 \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{2} \\ \\ \sin ^2 \alpha = \frac{\sqrt{3}+2}{4}}\)

:/

A może tak:

\(\displaystyle{ -(\cos ^2 \alpha -\sin ^2 \alpha )=- \cos(2\alpha ) =\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

Oo, teraz chyba wyjdzie...

\(\displaystyle{ 2\alpha=x \\ \\ -\cos(2\alpha)=-\cos x=\cos (180^o -x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ 180^o -x=30^o \Rightarrow x=150^o \Rightarrow \alpha=75^o \wedge \beta=15^o}\)

I tak też wychodzi

Dankeee!