Najmniejsza wartość sumy długości boków trójkąta.

[Fengson]

Dane jest pole \(\displaystyle{ S=3}\) i kąt \(\displaystyle{ \alpha = 30^{ \circ}}\) trójkąta ABC.
Oblicz najmniejszą wartość sumy długości dwóch boków przyległych do kąta \(\displaystyle{ \alpha}\).

Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ S = \frac{1}{2}ab\sin\alpha}\) gdzie a,b to boki przyległe do kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) wyznaczyłem długość jednego boku za pomocą drugiego : \(\displaystyle{ c= \frac{12}{b}}\). Jakieś sugestie co dalej? Nie mogę ruszyć.

[norwimaj]

\(\displaystyle{ c= \frac{12}{b}}\).

Nie miało być \(\displaystyle{ a= \frac{12}{b}}\)?

Jakieś sugestie co dalej? Nie mogę ruszyć.

Chcesz zminimalizować wartość \(\displaystyle{ b+\frac{12}{b}}\) dla \(\displaystyle{ b>0}\). W tym celu możesz albo sprawdzić, dla jakich \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ b+\frac{12}{b}=m}\) ma rozwiązanie (\(\displaystyle{ b}\) jest zmienną w tym równaniu), albo skorzystać z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną.

[Fengson]

\(\displaystyle{ f(b) = b^{2} - mb + 12}\)
Przyrównuję i wychodzi mi :
\(\displaystyle{ \Delta = m^{2} - 48}\)

Jeżeli przyrównam deltę do zera i uwzględnię założenie m>0 wychodzi wynik, ale czemu mam dać deltę równą zero...?

[norwimaj]

Konkretnie masz sprawdzić, dla jakich \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ b+\frac{12}{b}=m}\) ma pierwiastek dodatni. To jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ m>0}\) i \(\displaystyle{ \Delta\ge0}\). Czyli \(\displaystyle{ m\ge4\sqrt{3}}\). Teraz Ci przypomnę, co liczyłeś. \(\displaystyle{ m}\) to suma długości boków przyległych do kąta \(\displaystyle{ \alpha}\). Jeszcze spójrz, co masz w zadaniu policzyć, i wszystko będzie jasne.

[Fengson]

Wszystko rozumiem. Wielkie dzięki!