dowód na czworokąt w okręgu

[s0ull]

Witam, prosiłbym o pomoc w następującym zadaniu:

W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg długości łuków odpowiadającym cięciwom AB, BC, CD są równe. Wykaż że czworokąt ABCD jest trapezem

[TheBill]

wsk: kąty wpisane

[loitzl9006]

AU

86e55649ab543aec.jpg (12 KiB) Przejrzano 114 razy

Oznaczmy długość okręgu jako \(\displaystyle{ s}\).

kąty ABC i BCD mają równe miary, bo są kątami wpisanymi opartymi na łukach o tej samej długości \(\displaystyle{ s-2a}\).

O kątach CDA i BAD można powiedzieć, że też mają równe miary (kąty wpisane oparte na tym samym łuku \(\displaystyle{ 2a}\)).

Pozostaje udowodnić, że suma miar kątów leżących przy tym samym jest równa 180 stopni (to charakteryzuje trapez), czyli

\(\displaystyle{ \left| \sphericalangle ABC\right| + \left| \sphericalangle BAD\right| = 180 ^{o}}\)

Z warunku wpisywalności czworokąta w okrąg wynika, że suma miar przeciwległych kątów daje \(\displaystyle{ 180 ^{o}}\) . W naszym przypadku

\(\displaystyle{ \left| \sphericalangle ABC\right| + \left| \sphericalangle CDA\right| = 180 ^{o}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \left| \sphericalangle CDA\right| = \left| \sphericalangle BAD\right|}\), dostajemy to, co mieliśmy udowodnić.

Analogicznie możemy udowodnić, że

\(\displaystyle{ \left| \sphericalangle BCD\right| + \left| \sphericalangle CDA\right| = 180 ^{o}}\)