Witam, prosiłbym o pomoc w następującym zadaniu:
W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg długości łuków odpowiadającym cięciwom AB, BC, CD są równe. Wykaż że czworokąt ABCD jest trapezem
dowód na czworokąt w okręgu
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
dowód na czworokąt w okręgu
\(\displaystyle{ s}\).
kąty ABC i BCD mają równe miary, bo są kątami wpisanymi opartymi na łukach o tej samej długości \(\displaystyle{ s-2a}\).
O kątach CDA i BAD można powiedzieć, że też mają równe miary (kąty wpisane oparte na tym samym łuku \(\displaystyle{ 2a}\)).
Pozostaje udowodnić, że suma miar kątów leżących przy tym samym jest równa 180 stopni (to charakteryzuje trapez), czyli
\(\displaystyle{ \left| \sphericalangle ABC\right| + \left| \sphericalangle BAD\right| = 180 ^{o}}\)
Z warunku wpisywalności czworokąta w okrąg wynika, że suma miar przeciwległych kątów daje \(\displaystyle{ 180 ^{o}}\) . W naszym przypadku
\(\displaystyle{ \left| \sphericalangle ABC\right| + \left| \sphericalangle CDA\right| = 180 ^{o}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \left| \sphericalangle CDA\right| = \left| \sphericalangle BAD\right|}\), dostajemy to, co mieliśmy udowodnić.
Analogicznie możemy udowodnić, że
\(\displaystyle{ \left| \sphericalangle BCD\right| + \left| \sphericalangle CDA\right| = 180 ^{o}}\)
Oznaczmy długość okręgu jako kąty ABC i BCD mają równe miary, bo są kątami wpisanymi opartymi na łukach o tej samej długości \(\displaystyle{ s-2a}\).
O kątach CDA i BAD można powiedzieć, że też mają równe miary (kąty wpisane oparte na tym samym łuku \(\displaystyle{ 2a}\)).
Pozostaje udowodnić, że suma miar kątów leżących przy tym samym jest równa 180 stopni (to charakteryzuje trapez), czyli
\(\displaystyle{ \left| \sphericalangle ABC\right| + \left| \sphericalangle BAD\right| = 180 ^{o}}\)
Z warunku wpisywalności czworokąta w okrąg wynika, że suma miar przeciwległych kątów daje \(\displaystyle{ 180 ^{o}}\) . W naszym przypadku
\(\displaystyle{ \left| \sphericalangle ABC\right| + \left| \sphericalangle CDA\right| = 180 ^{o}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \left| \sphericalangle CDA\right| = \left| \sphericalangle BAD\right|}\), dostajemy to, co mieliśmy udowodnić.
Analogicznie możemy udowodnić, że
\(\displaystyle{ \left| \sphericalangle BCD\right| + \left| \sphericalangle CDA\right| = 180 ^{o}}\)