punkty styczności
punkty styczności
jeśli każdy z czterech okręgów jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch z pozostałych, to cztery punkty styczności leżą na jednym okręgu. jak to udowodnić?
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
punkty styczności
Zadanie pod linkiem jest inne niż to.
Oznaczenia jak na rysunku. Zakreślmy okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ A}\) i pewnym promieniu r, aby przecinał okrąg o środku \(\displaystyle{ S_1}\) w punktach \(\displaystyle{ G,F}\) oraz okrąg o środku \(\displaystyle{ S_2}\) w punktach \(\displaystyle{ I,H}\). Rozważmy inwersję wobec owego okręgu o środku A. Wówczas teza jest równoważna pokazaniu, że punkty \(\displaystyle{ B',C',D'}\) będące obrazami punktów \(\displaystyle{ B,C,D}\) w danej inwersji są współliniowe. Okręgi o środkach \(\displaystyle{ S_1}\), \(\displaystyle{ S_2}\) przejdą na proste równoległe wobec siebie, wyznaczone odpowiednio przez punkty \(\displaystyle{ G,F}\) oraz \(\displaystyle{ I,H}\), niech to będą proste \(\displaystyle{ k,l}\). Jako że okrąg o środku \(\displaystyle{ S_3}\) jest styczny do okręgu o środku \(\displaystyle{ S_2}\) w punkcie \(\displaystyle{ B}\), przejdzie on na okrąg o pewnym środku \(\displaystyle{ J}\), styczny do prostej l w punkcie \(\displaystyle{ B'}\), podobnie okrąg o środku \(\displaystyle{ S_4}\) przejdzie na okrąg o środku w \(\displaystyle{ K}\), styczny do k w punkcie \(\displaystyle{ D'}\), a punkt C przejdzie na punkt \(\displaystyle{ C'}\) będący punktem styczności okręgów o środkach \(\displaystyle{ J,K}\). Teraz wystarczy zauważyć, że jednokładność \(\displaystyle{ j}\), o środku w punkcie \(\displaystyle{ C'}\) przekształcająca okrąg o środku \(\displaystyle{ K}\) w okrąg o środku \(\displaystyle{ J}\) daje \(\displaystyle{ j(D') = B'}\) (ponieważ proste k,l są równoległe) skąd punkty \(\displaystyle{ B',C',D'}\) są współliniowe cnd.
Oznaczenia jak na rysunku. Zakreślmy okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ A}\) i pewnym promieniu r, aby przecinał okrąg o środku \(\displaystyle{ S_1}\) w punktach \(\displaystyle{ G,F}\) oraz okrąg o środku \(\displaystyle{ S_2}\) w punktach \(\displaystyle{ I,H}\). Rozważmy inwersję wobec owego okręgu o środku A. Wówczas teza jest równoważna pokazaniu, że punkty \(\displaystyle{ B',C',D'}\) będące obrazami punktów \(\displaystyle{ B,C,D}\) w danej inwersji są współliniowe. Okręgi o środkach \(\displaystyle{ S_1}\), \(\displaystyle{ S_2}\) przejdą na proste równoległe wobec siebie, wyznaczone odpowiednio przez punkty \(\displaystyle{ G,F}\) oraz \(\displaystyle{ I,H}\), niech to będą proste \(\displaystyle{ k,l}\). Jako że okrąg o środku \(\displaystyle{ S_3}\) jest styczny do okręgu o środku \(\displaystyle{ S_2}\) w punkcie \(\displaystyle{ B}\), przejdzie on na okrąg o pewnym środku \(\displaystyle{ J}\), styczny do prostej l w punkcie \(\displaystyle{ B'}\), podobnie okrąg o środku \(\displaystyle{ S_4}\) przejdzie na okrąg o środku w \(\displaystyle{ K}\), styczny do k w punkcie \(\displaystyle{ D'}\), a punkt C przejdzie na punkt \(\displaystyle{ C'}\) będący punktem styczności okręgów o środkach \(\displaystyle{ J,K}\). Teraz wystarczy zauważyć, że jednokładność \(\displaystyle{ j}\), o środku w punkcie \(\displaystyle{ C'}\) przekształcająca okrąg o środku \(\displaystyle{ K}\) w okrąg o środku \(\displaystyle{ J}\) daje \(\displaystyle{ j(D') = B'}\) (ponieważ proste k,l są równoległe) skąd punkty \(\displaystyle{ B',C',D'}\) są współliniowe cnd.