obwód prostokąta ma długość 40, wyznacz długości boków tak aby prostokąt miał najkrotsza przekątną.
Wydaje mi się ze to będzie kwadrat z bokami po 10, ale jak to udowodnic?
Najkrótsza przekątna
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Najkrótsza przekątna
Udowodnimy, że wśród prostokątów o danym obwodzie najkrótszą przekątną ma prostokąt o równych bokach, czyli kwadrat, mamy dany obwód L:
\(\displaystyle{ L = 2a+2b \Rightarrow b = \frac{L}{2}-a}\)
\(\displaystyle{ d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2+\frac{L^2}{4}-La+a^2} = \sqrt{2a^2+\frac{L^2}{4}-La}}\)
Zdefiniujemy to jako funkcję z niewiadomą a, liczymy miejsce zerowe pochodnej, tym samym będzie to wartość a, dla którego dana funkcja, czyli nasza przekątna przyjmuje najmniejszą wartość, czyli jest najkrótsza:
\(\displaystyle{ f'(a) = \frac{4a-L}{\sqrt{L^2-4aL+8a^2}}}\)
\(\displaystyle{ f'(a)=0 \Leftrightarrow a = \frac{L}{4}}\)
Ale wtedy \(\displaystyle{ b = \frac{2L}{4}-\frac{L}{4} = \frac{L}{4} = a}\)
Czyli prostokąt ma równe boki, więc jest kwadratem, czyli przekątna prostokąta jest najkrótsza, jak prostokąt ten jest kwadratem
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ L = 2a+2b \Rightarrow b = \frac{L}{2}-a}\)
\(\displaystyle{ d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2+\frac{L^2}{4}-La+a^2} = \sqrt{2a^2+\frac{L^2}{4}-La}}\)
Zdefiniujemy to jako funkcję z niewiadomą a, liczymy miejsce zerowe pochodnej, tym samym będzie to wartość a, dla którego dana funkcja, czyli nasza przekątna przyjmuje najmniejszą wartość, czyli jest najkrótsza:
\(\displaystyle{ f'(a) = \frac{4a-L}{\sqrt{L^2-4aL+8a^2}}}\)
\(\displaystyle{ f'(a)=0 \Leftrightarrow a = \frac{L}{4}}\)
Ale wtedy \(\displaystyle{ b = \frac{2L}{4}-\frac{L}{4} = \frac{L}{4} = a}\)
Czyli prostokąt ma równe boki, więc jest kwadratem, czyli przekątna prostokąta jest najkrótsza, jak prostokąt ten jest kwadratem
Pozdrawiam.