cztery punkty nie w jednej płaczyxnie

[darek20]

Rozwazmy punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D}\), nie w tej samej płaszczyźnie, takie ze \(\displaystyle{ AB\perp CD}\) oraz \(\displaystyle{ AB^2+CD^2=AD^2+BC^2}\).

a) Pokaż że \(\displaystyle{ AC\perp BD.}\)

b) Pokaż ze jeśli \(\displaystyle{ CD<BC<BD}\), to kąt miedzy płaszczyznami \(\displaystyle{ ABC}\) oraz \(\displaystyle{ ADC}\) jest wiekszy od \(\displaystyle{ 60^{\circ}.}\)

[timon92]

trochę działy pomyliłeś

jest taki fajny lemat: K,L,M,N - cztery punkty w przestrzeni, \(\displaystyle{ KM \perp LN \iff KL^2+MN^2 = LM^2+NK^2}\)

zrzutujmy punkty L,N na prostą KM otrzymując punkty P,Q. Łatwo widzieć, że \(\displaystyle{ KM \perp LN \iff P=Q}\) oraz
\(\displaystyle{ KL^2+MN^2 = LM^2+NK^2 \iff \\ KL^2 - LM^2 = KN^2 - NM^2 \iff \\ KP^2 - PM^2 = KQ^2 - QM^2}\)
oraz dla dwóch różnych punktów X,Y na prostej KM mamy \(\displaystyle{ KX^2 - XM^2 \neq KY^2 - YM^2}\)

z powyższych spostrzeżeń natychmiast wynika słuszność lematu oraz podpunkt a)

[darek20]

jeszcze b)

[timon92]

może tak: niech E będzie rzutem prostokątnym B na AC, skoro \(\displaystyle{ AC \perp BD}\) to E jest także rzutem D na AC, stąd kąt \(\displaystyle{ \angle BED}\) jest kątem między płaszczyznami ABC, ADC

jest jasne że \(\displaystyle{ BE \le BC}\) oraz \(\displaystyle{ DE \le DC}\), korzystając z \(\displaystyle{ CD<BC<BD}\) dostaje się, że w trójkącie BDE bok BD jest najdłuższy, stąd \(\displaystyle{ \angle BED > 60^\circ}\)



co ciekawe, w żadnym z podpunktów nie korzystałem z założenia \(\displaystyle{ AB\perp CD}\)