Prosta potęgowa dzieli odcinek na połowy

[matematyk261]

Prosta \(\displaystyle{ l}\) jest wspólną styczną dwu okręgów. Punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są punktami styczności. Wykaż, że prosta potęgowa tych okręgów dzieli odcinek \(\displaystyle{ AB}\) na połowy.

[Mistrz]

Jeżeli dobrze pamiętam, że prosta potęgowa dwóch okręgów to zbiór tych punktów \(\displaystyle{ X}\) płaszczyzny, że różnica kwadratu odległości \(\displaystyle{ X}\) od środka okręgu i kwadratu promienia okręgu jest taka sama dla obydwu okręgów to zadanie to jest dość oczywiste.

Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ O_1,O_2}\) środkami danych okręgów, a \(\displaystyle{ r_1,r_2}\) ich promieniami. Wtedy \(\displaystyle{ |O_1M|^2 - r_1^2 = |AM|^2 = |MB|^2 = |O_2M|^2 -r_2^2}\), czyli \(\displaystyle{ M}\) leży na prostej potęgowej.