udowodnienie w prostokącie

[major37]

Punkt M leży wewnątrz prostokąta ABCD. Udowodnij, że |AM|^2 + |CM|^2=|BM|^2 + |DM|^2

Prosze o jakieś wskazówki i pomoc. Dorysowałem prostą przechodzącą przez punkt M Równoleglą do podctaw AB i CD i szukam twierdzenia talesa ale nic nie wychodzi

[Errichto]

Pitagoras:
\(\displaystyle{ |AM|^2=y^2+x^2\\|BM|^2=y^2+(a-x)^2\\|CM|^2=(a-x)^2+(h-y)^2\\|DM|^2=x^2+(h-y)^2}\)

\(\displaystyle{ a=|AB|\\h=|AD|}\)
\(\displaystyle{ y}\) to odległość \(\displaystyle{ M}\) od \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ x}\) to odl. od \(\displaystyle{ AD}\)

[major37]

I jak tak napisze na maturze to będzie uznane ?

[Errichto]

Przydałoby się dodać odcinki łączące \(\displaystyle{ M}\) z bokami prostokąta, zaznaczyć kąty proste i na początku opisać oznaczenia.
I oczywiście część właściwa - dodać te kwadraty długości, uprościć i pokazać, że są takie same.

[major37]

Dzięki:)-- 5 kwi 2011, o 14:47 --Dlaczego wychodzi po podstawieniu 0=0 ?

[Vax]

Można również położyć na to układ zespolony, którego środek leży na przecięciu przekątnych danego prostokąta, wówczas jego współrzędne są następujące:

\(\displaystyle{ A(-a) \wedge B(\overline{a}) \wedge C(a) \wedge D(-\overline{a}) \wedge M(m)}\)

Wówczas musimy udowodnić, że (wykonujemy szereg przekształceń równoważnych)

\(\displaystyle{ |AM|^2 + |CM|^2 = |BM|^2 + |DM|^2}\)

\(\displaystyle{ (-a-m)(-\overline{a}-\overline{m})+(a-m)(\overline{a}-\overline{m}) = (\overline{a}-m)(a-\overline{m})+(-\overline{a}-m)(-a-\overline{m})}\)

\(\displaystyle{ a\overline{a}+a\overline{m}+m\overline{a}+m\overline{m}+a\overline{a}-a\overline{m}-m\overline{a}+m\overline{m}=a\overline{a}-\overline{a}\overline{m}-am+m\overline{m}+a\overline{a}+\overline{a}\overline{m}+am+m\overline{m}}\)

\(\displaystyle{ 0=0}\)

A to oznacza, że nasza równość jest prawdziwa, cnd.

Pozdrawiam.

[major37]

Ja jestem w liceum i nie mam liczb zespolonych:)

[Vax]

W takim razie można to zrobić jak napisał Errichto, również na końcu wychodzi prawdziwa równość \(\displaystyle{ 0=0}\) która kończy dowód

Pozdrawiam.