Trójkąty wpisane/opisane HARD
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 3 kwie 2011, o 11:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nysa
- Podziękował: 1 raz
Trójkąty wpisane/opisane HARD
Witam, prosiłbym o pomoc z paroma zadaniami. Męczy się nad nimi parę godzin i nic =/
1.W trójkącie prostokątnym poprowadzono dwusieczną kąta prostego. Oblicz kąty ostre tego
trójkąta, wiedząc że środek okręgu wpisanego dzieli odcinek dwusiecznej w stosunku √3 :
√2 licząc od wierzchołka kąta prostego.
2. W trójkąt wpisano okrąg o promieniu r = 3cm. Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że punkt styczności dzieli jeden z boków na odcinki o długości 3 cm i 4cm.
3. Wyznacz pole trójkąta którego dwa boki mają długość 27 cm i 29cm, a środkowa trzeciego boku ma 27 cm.
4. Wysokość CC1 poprowadzona z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego ABC jest równa 4 i dzieli bok AB na dwie częśći AC1 i C1B takie że AC1 : C1B = 1:8. Oblicz długość odcinka równoległego do wysokości CC1, dzielącego pole trójkąta ABC na połowy.
1.W trójkącie prostokątnym poprowadzono dwusieczną kąta prostego. Oblicz kąty ostre tego
trójkąta, wiedząc że środek okręgu wpisanego dzieli odcinek dwusiecznej w stosunku √3 :
√2 licząc od wierzchołka kąta prostego.
2. W trójkąt wpisano okrąg o promieniu r = 3cm. Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że punkt styczności dzieli jeden z boków na odcinki o długości 3 cm i 4cm.
3. Wyznacz pole trójkąta którego dwa boki mają długość 27 cm i 29cm, a środkowa trzeciego boku ma 27 cm.
4. Wysokość CC1 poprowadzona z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego ABC jest równa 4 i dzieli bok AB na dwie częśći AC1 i C1B takie że AC1 : C1B = 1:8. Oblicz długość odcinka równoległego do wysokości CC1, dzielącego pole trójkąta ABC na połowy.
-
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 21 mar 2011, o 20:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poland
- Podziękował: 11 razy
Trójkąty wpisane/opisane HARD
jesli chodzi o pierwsze zadanie, pojawiają się takie pierwiastki , to nasuwają mi się trójkąty 30 60 90, i 90 45 45 stopni, ale moze zle.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 3 kwie 2011, o 11:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nysa
- Podziękował: 1 raz
Trójkąty wpisane/opisane HARD
W pierwszym wiem, że muszę skorzystać z twierdzenia o dwusiecznej, ale mają zrobiony rysunek nie wiem co dalej.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Trójkąty wpisane/opisane HARD
Oznaczmy jedną przyprostokątną przez \(\displaystyle{ \sqrt{3}x}\), a drugą przez \(\displaystyle{ \sqrt{3}y}\). Wtedy dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości \(\displaystyle{ \sqrt{2}x}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{2}y}\). Wynika to z tw. o dwusiecznej w trójkątach powstałych przez podzielenie całego trójkąta dwusieczną kąta prostego.
Dalej stosujemy tw. Pitagorasa, wyliczając \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\).-- 3 kwi 2011, o 13:05 --W zadaniu 2 można zauważyć, że trójkąt jest prostokątny. Punkty styczności dzielą boki trójkąta na:
\(\displaystyle{ (3+x)^2+7^2=(4+x)^2}\),
co pozwala wyliczyć \(\displaystyle{ x}\), a w konsekwencji też pole trójkąta.
Jest też metoda ogólniejsza, nie korzystająca z tego że trójkąt jest prostokątny.
Wystarczy spojrzeć na kąty pomiędzy dwusiecznymi a promieniami łączącymi środek okręgu z bokami. Znamy tangensy dwóch takich kątów, więc możemy wyliczyć tangens trzeciego.
Dalej stosujemy tw. Pitagorasa, wyliczając \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\).-- 3 kwi 2011, o 13:05 --W zadaniu 2 można zauważyć, że trójkąt jest prostokątny. Punkty styczności dzielą boki trójkąta na:
- \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 4}\)
- \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ x}\)
- \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ (3+x)^2+7^2=(4+x)^2}\),
co pozwala wyliczyć \(\displaystyle{ x}\), a w konsekwencji też pole trójkąta.
Jest też metoda ogólniejsza, nie korzystająca z tego że trójkąt jest prostokątny.
Wystarczy spojrzeć na kąty pomiędzy dwusiecznymi a promieniami łączącymi środek okręgu z bokami. Znamy tangensy dwóch takich kątów, więc możemy wyliczyć tangens trzeciego.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 3 kwie 2011, o 11:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nysa
- Podziękował: 1 raz
Trójkąty wpisane/opisane HARD
2 i 3 zrobiłem, ale to 1 to jakaś tragedia. norwimaj mógłbyś pokazać to na rysunku jak to zrobić? Thx z góry-- 3 kwi 2011, o 18:37 --up
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Trójkąty wpisane/opisane HARD
No dobrze, narysowałem jakiś trójkąt prostokątny i jego dwusieczne. Ten trójkąt w zadaniu na pewno nie wygląda dokładnie tak samo.
\(\displaystyle{ \begin{picture}(300,300)
\qbezier(0,0)(0,0)(250,0)
\qbezier(0,0)(0,0)(90,120)
\qbezier(250,0)(250,0)(90,120)
\qbezier(0,0)(0,0)(150,75)
\qbezier(250,0)(250,0)(50,66.6667)
\qbezier(90,120)(90,120)(107.1429,0)
\put(-10,-10){$A$}
\put(250,-10){$B$}
\put(90,125){$C$}
\put(153,78){$S_A$}
\put(34,69){$S_B$}
\put(104,-10){$S_C$}
\put(102,58){$O$}
\put(97,76){$\sqrt{3}$}
\put(106,15){$\sqrt{2}$}
\end{picture}}\)
Korzystając z tw. o dwusiecznej w \(\displaystyle{ \Delta AS_CC}\) zapisujemy \(\displaystyle{ AC=\sqrt{3}x}\), \(\displaystyle{ AS_C=\sqrt{2}x}\). Analogicznie w drugiej połówce \(\displaystyle{ BC=\sqrt{3}y}\), \(\displaystyle{ BS_C=\sqrt{2}y}\).
Następnie korzystamy z tw. Pitagorasa w \(\displaystyle{ \Delta ABC}\). W ten sposób wyrażamy \(\displaystyle{ y}\) za pomocą \(\displaystyle{ x}\) i już mamy każdy bok \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) wyrażony tylko za pomocą \(\displaystyle{ x}\).
Teraz wystarczy skorzystać z tw. kosinusów w \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) w celu obliczenia kosinusów kątów ostrych.-- 3 kwi 2011, o 20:46 --A, z tym tw. kosinusów przesadziłem. Przecież trójkąt jest prostokątny, więc funkcje trygonometryczne kątów mamy za darmo.
\(\displaystyle{ \begin{picture}(300,300)
\qbezier(0,0)(0,0)(250,0)
\qbezier(0,0)(0,0)(90,120)
\qbezier(250,0)(250,0)(90,120)
\qbezier(0,0)(0,0)(150,75)
\qbezier(250,0)(250,0)(50,66.6667)
\qbezier(90,120)(90,120)(107.1429,0)
\put(-10,-10){$A$}
\put(250,-10){$B$}
\put(90,125){$C$}
\put(153,78){$S_A$}
\put(34,69){$S_B$}
\put(104,-10){$S_C$}
\put(102,58){$O$}
\put(97,76){$\sqrt{3}$}
\put(106,15){$\sqrt{2}$}
\end{picture}}\)
Korzystając z tw. o dwusiecznej w \(\displaystyle{ \Delta AS_CC}\) zapisujemy \(\displaystyle{ AC=\sqrt{3}x}\), \(\displaystyle{ AS_C=\sqrt{2}x}\). Analogicznie w drugiej połówce \(\displaystyle{ BC=\sqrt{3}y}\), \(\displaystyle{ BS_C=\sqrt{2}y}\).
Następnie korzystamy z tw. Pitagorasa w \(\displaystyle{ \Delta ABC}\). W ten sposób wyrażamy \(\displaystyle{ y}\) za pomocą \(\displaystyle{ x}\) i już mamy każdy bok \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) wyrażony tylko za pomocą \(\displaystyle{ x}\).
Teraz wystarczy skorzystać z tw. kosinusów w \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) w celu obliczenia kosinusów kątów ostrych.-- 3 kwi 2011, o 20:46 --A, z tym tw. kosinusów przesadziłem. Przecież trójkąt jest prostokątny, więc funkcje trygonometryczne kątów mamy za darmo.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 3 kwie 2011, o 11:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nysa
- Podziękował: 1 raz
Trójkąty wpisane/opisane HARD
Nadal mi coś nie pasuje. Jeżeli środek okegu dzieli dwusieczną w stosunku √3 :√2 to należy ją oznaczyć jako √3x i √2x. Z Twojego rysunku wychodzi że dwusieczna ma √3 +√2 co nie jest prawdą. Nie rozumię też dlaczego AC równa się √3x i analogicznie jedna strona. Przecież wychodzi że trójkąty są równoramienne a tak nie jest. Twierdzenie o dwusiecznej to przecież ASc/AC = ScB/BC lub AO/AC = OsA/CSa itd. Chyba, że o czymś nie wiem.norwimaj pisze:
\(\displaystyle{ \begin{picture}(300,300)
\qbezier(0,0)(0,0)(250,0)
\qbezier(0,0)(0,0)(90,120)
\qbezier(250,0)(250,0)(90,120)
\qbezier(0,0)(0,0)(150,75)
\qbezier(250,0)(250,0)(50,66.6667)
\qbezier(90,120)(90,120)(107.1429,0)
\put(-10,-10){$A$}
\put(250,-10){$B$}
\put(90,125){$C$}
\put(153,78){$S_A$}
\put(34,69){$S_B$}
\put(104,-10){$S_C$}
\put(102,58){$O$}
\put(97,76){$\sqrt{3}$}
\put(106,15){$\sqrt{2}$}
\end{picture}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Trójkąty wpisane/opisane HARD
Żeby nie mnożyć bytów, to przyjąłem sobie długość dwusiecznej równą \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}}\). Jeśli by była inna, to można sobie cały trójkąt przeskalować.
Możesz sobie przy tych pierwiastkach postawić jakąś literkę, na przykład \(\displaystyle{ z}\).
Dlaczego \(\displaystyle{ CS_B=\sqrt{3}x}\)? Możesz w rozwiązaniu napisać takie zdanie:
\(\displaystyle{ \frac{AS_C}{AC}=\frac{OS_C}{OC}}\).
Nie odpowiem na następny Twój post, jeśli będziesz formuły matematyczne pisał inaczej niż w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-u.
Możesz sobie przy tych pierwiastkach postawić jakąś literkę, na przykład \(\displaystyle{ z}\).
Dlaczego \(\displaystyle{ CS_B=\sqrt{3}x}\)? Możesz w rozwiązaniu napisać takie zdanie:
Wtedy to będzie oczywiste.-- 3 kwi 2011, o 22:13 --Niech \(\displaystyle{ x=\frac{CS_B}{\sqrt{3}}}\).
Gdzie tak wychodzi?TesMath pisze: Przecież wychodzi że trójkąty są równoramienne a tak nie jest.
TeżTesMath pisze: Twierdzenie o dwusiecznej to przecież ASc/AC = ScB/BC lub AO/AC = OsA/CSa itd. Chyba, że o czymś nie wiem.
\(\displaystyle{ \frac{AS_C}{AC}=\frac{OS_C}{OC}}\).
Nie odpowiem na następny Twój post, jeśli będziesz formuły matematyczne pisał inaczej niż w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-u.