Trójkąty wpisane/opisane HARD

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
TesMath
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 3 kwie 2011, o 11:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nysa
Podziękował: 1 raz

Trójkąty wpisane/opisane HARD

Post autor: TesMath »

Witam, prosiłbym o pomoc z paroma zadaniami. Męczy się nad nimi parę godzin i nic =/

1.W trójkącie prostokątnym poprowadzono dwusieczną kąta prostego. Oblicz kąty ostre tego
trójkąta, wiedząc że środek okręgu wpisanego dzieli odcinek dwusiecznej w stosunku √3 :
√2 licząc od wierzchołka kąta prostego.

2. W trójkąt wpisano okrąg o promieniu r = 3cm. Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że punkt styczności dzieli jeden z boków na odcinki o długości 3 cm i 4cm.

3. Wyznacz pole trójkąta którego dwa boki mają długość 27 cm i 29cm, a środkowa trzeciego boku ma 27 cm.

4. Wysokość CC1 poprowadzona z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego ABC jest równa 4 i dzieli bok AB na dwie częśći AC1 i C1B takie że AC1 : C1B = 1:8. Oblicz długość odcinka równoległego do wysokości CC1, dzielącego pole trójkąta ABC na połowy.
Qiuuuu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 21 mar 2011, o 20:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poland
Podziękował: 11 razy

Trójkąty wpisane/opisane HARD

Post autor: Qiuuuu »

jesli chodzi o pierwsze zadanie, pojawiają się takie pierwiastki , to nasuwają mi się trójkąty 30 60 90, i 90 45 45 stopni, ale moze zle.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Trójkąty wpisane/opisane HARD

Post autor: norwimaj »

1. Narysuj pozostałe dwie dwusieczne i skorzystaj z twierdzenia o dwusiecznej.
TesMath
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 3 kwie 2011, o 11:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nysa
Podziękował: 1 raz

Trójkąty wpisane/opisane HARD

Post autor: TesMath »

W pierwszym wiem, że muszę skorzystać z twierdzenia o dwusiecznej, ale mają zrobiony rysunek nie wiem co dalej.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Trójkąty wpisane/opisane HARD

Post autor: norwimaj »

Oznaczmy jedną przyprostokątną przez \(\displaystyle{ \sqrt{3}x}\), a drugą przez \(\displaystyle{ \sqrt{3}y}\). Wtedy dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości \(\displaystyle{ \sqrt{2}x}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{2}y}\). Wynika to z tw. o dwusiecznej w trójkątach powstałych przez podzielenie całego trójkąta dwusieczną kąta prostego.

Dalej stosujemy tw. Pitagorasa, wyliczając \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\).-- 3 kwi 2011, o 13:05 --W zadaniu 2 można zauważyć, że trójkąt jest prostokątny. Punkty styczności dzielą boki trójkąta na:
  • \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 4}\)
  • \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ x}\)
  • \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ x}\)
Z tw. Pitagorasa mamy
\(\displaystyle{ (3+x)^2+7^2=(4+x)^2}\),
co pozwala wyliczyć \(\displaystyle{ x}\), a w konsekwencji też pole trójkąta.

Jest też metoda ogólniejsza, nie korzystająca z tego że trójkąt jest prostokątny.
Wystarczy spojrzeć na kąty pomiędzy dwusiecznymi a promieniami łączącymi środek okręgu z bokami. Znamy tangensy dwóch takich kątów, więc możemy wyliczyć tangens trzeciego.
TesMath
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 3 kwie 2011, o 11:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nysa
Podziękował: 1 raz

Trójkąty wpisane/opisane HARD

Post autor: TesMath »

2 i 3 zrobiłem, ale to 1 to jakaś tragedia. norwimaj mógłbyś pokazać to na rysunku jak to zrobić? Thx z góry-- 3 kwi 2011, o 18:37 --up
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Trójkąty wpisane/opisane HARD

Post autor: norwimaj »

No dobrze, narysowałem jakiś trójkąt prostokątny i jego dwusieczne. Ten trójkąt w zadaniu na pewno nie wygląda dokładnie tak samo.

\(\displaystyle{ \begin{picture}(300,300)

\qbezier(0,0)(0,0)(250,0)
\qbezier(0,0)(0,0)(90,120)
\qbezier(250,0)(250,0)(90,120)
\qbezier(0,0)(0,0)(150,75)
\qbezier(250,0)(250,0)(50,66.6667)
\qbezier(90,120)(90,120)(107.1429,0)

\put(-10,-10){$A$}
\put(250,-10){$B$}
\put(90,125){$C$}
\put(153,78){$S_A$}
\put(34,69){$S_B$}
\put(104,-10){$S_C$}
\put(102,58){$O$}
\put(97,76){$\sqrt{3}$}
\put(106,15){$\sqrt{2}$}


\end{picture}}\)


Korzystając z tw. o dwusiecznej w \(\displaystyle{ \Delta AS_CC}\) zapisujemy \(\displaystyle{ AC=\sqrt{3}x}\), \(\displaystyle{ AS_C=\sqrt{2}x}\). Analogicznie w drugiej połówce \(\displaystyle{ BC=\sqrt{3}y}\), \(\displaystyle{ BS_C=\sqrt{2}y}\).

Następnie korzystamy z tw. Pitagorasa w \(\displaystyle{ \Delta ABC}\). W ten sposób wyrażamy \(\displaystyle{ y}\) za pomocą \(\displaystyle{ x}\) i już mamy każdy bok \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) wyrażony tylko za pomocą \(\displaystyle{ x}\).

Teraz wystarczy skorzystać z tw. kosinusów w \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) w celu obliczenia kosinusów kątów ostrych.-- 3 kwi 2011, o 20:46 --A, z tym tw. kosinusów przesadziłem. Przecież trójkąt jest prostokątny, więc funkcje trygonometryczne kątów mamy za darmo.
TesMath
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 3 kwie 2011, o 11:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nysa
Podziękował: 1 raz

Trójkąty wpisane/opisane HARD

Post autor: TesMath »

norwimaj pisze:
\(\displaystyle{ \begin{picture}(300,300)

\qbezier(0,0)(0,0)(250,0)
\qbezier(0,0)(0,0)(90,120)
\qbezier(250,0)(250,0)(90,120)
\qbezier(0,0)(0,0)(150,75)
\qbezier(250,0)(250,0)(50,66.6667)
\qbezier(90,120)(90,120)(107.1429,0)

\put(-10,-10){$A$}
\put(250,-10){$B$}
\put(90,125){$C$}
\put(153,78){$S_A$}
\put(34,69){$S_B$}
\put(104,-10){$S_C$}
\put(102,58){$O$}
\put(97,76){$\sqrt{3}$}
\put(106,15){$\sqrt{2}$}


\end{picture}}\)

Nadal mi coś nie pasuje. Jeżeli środek okegu dzieli dwusieczną w stosunku √3 :√2 to należy ją oznaczyć jako √3x i √2x. Z Twojego rysunku wychodzi że dwusieczna ma √3 +√2 co nie jest prawdą. Nie rozumię też dlaczego AC równa się √3x i analogicznie jedna strona. Przecież wychodzi że trójkąty są równoramienne a tak nie jest. Twierdzenie o dwusiecznej to przecież ASc/AC = ScB/BC lub AO/AC = OsA/CSa itd. Chyba, że o czymś nie wiem.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Trójkąty wpisane/opisane HARD

Post autor: norwimaj »

Żeby nie mnożyć bytów, to przyjąłem sobie długość dwusiecznej równą \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt{3}}\). Jeśli by była inna, to można sobie cały trójkąt przeskalować.

Możesz sobie przy tych pierwiastkach postawić jakąś literkę, na przykład \(\displaystyle{ z}\).

Dlaczego \(\displaystyle{ CS_B=\sqrt{3}x}\)? Możesz w rozwiązaniu napisać takie zdanie:
Niech \(\displaystyle{ x=\frac{CS_B}{\sqrt{3}}}\).
Wtedy to będzie oczywiste.-- 3 kwi 2011, o 22:13 --
TesMath pisze: Przecież wychodzi że trójkąty są równoramienne a tak nie jest.
Gdzie tak wychodzi?
TesMath pisze: Twierdzenie o dwusiecznej to przecież ASc/AC = ScB/BC lub AO/AC = OsA/CSa itd. Chyba, że o czymś nie wiem.
Też
\(\displaystyle{ \frac{AS_C}{AC}=\frac{OS_C}{OC}}\).


Nie odpowiem na następny Twój post, jeśli będziesz formuły matematyczne pisał inaczej niż w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-u.
ODPOWIEDZ