Obliczyć długość trzeciego boku

[bliznieta07129]

Boki trójkąta są długości \(\displaystyle{ 4 \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ 6}\), a jego pole \(\displaystyle{ P =9 \sqrt{3}}\) . Obliczyć długość trzeciego boku.

Myślałam o wykorzystaniu wzoru Herona, ale czy muszę to wszystko wymnożyć?
\(\displaystyle{ 9 \sqrt{3} = \sqrt{(2 \sqrt{3}+3+ \frac{c}{2} )(-2 \sqrt{3}+3+ \frac{c}{2})(2 \sqrt{3}-3+ \frac{c}{2})(2 \sqrt{3}+3- \frac{c}{2})}}\)

[Marian517]

Proponuje z wzoru na pole trójkąta
\(\displaystyle{ 9 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{3} \cdot 6 sin \alpha}\)
Czyli \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{3}{4}}\)
Obliczamy kosinus \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}}\)
i z twierdzenia kosinusów wyliczyć długość trzeciego boku.

[adambak]

Heron owszem się czasem przydaje, ale tutaj to by było zawracanie głowy - ciężkie obliczenia..
Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta:

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}ab\sin \alpha}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ a=4 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ b=6}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha}\) - kąt między bokami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ P =9 \sqrt{3}}\)

obliczysz dzięki temu \(\displaystyle{ \sin \alpha}\), a potem z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ \cos \alpha}\), będą dwie możliwości, więc pewnie dwie możliwe sytuacje z trzecim bokiem, ale to się zobaczy. Mając już \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) obliczysz z twierdzenia cosinusów trzeci bok (ten na przeciwko kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) zgodnie z naszymi oznaczeniami). I wszystko masz trzeci bok. Dla pewności jeszcze sprawdź czy obie otrzymane wartości są możliwe - to jest z nierówności trójkąta czy z obu wariantów da się zbudować trójkąt, jeśli nie to jedną wartość musisz odrzucić..-- 2 kwi 2011, o 19:21 --Marian517 cosinus może być też ujemny - trójkąt rozwartokątny, więc trzeba sprawdzić obie sytuacje i ewentualnie która z nich jest możliwa..

[norwimaj]

Dla pewności jeszcze sprawdź czy obie otrzymane wartości są możliwe - to jest z nierówności trójkąta czy z obu wariantów da się zbudować trójkąt, jeśli nie to jedną wartość musisz odrzucić..

Proste ćwiczenie:

Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ a,b,c>0;\;\gamma\in\mathbb{R}}\), jeśli \(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma}\), to liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniają nierówności trójkąta.

To załatwia sprawę.

[adambak]

ochh.. no tak, nie wiem co ja odpaliłem z tym sprawdzaniem.. przepraszam za głupotę, ale tak czy siak dwie sytuacje mogą być.

[norwimaj]

ochh.. no tak, nie wiem co ja odpaliłem z tym sprawdzaniem.. przepraszam za głupotę, ale tak czy siak dwie sytuacje mogą być.

Nie ma nic złego w sprawdzeniu. W końcu nie każdy musi od razu zauważyć fakt, o którym napisałem powyżej.

Zgadzam się co do tego, że będą dwa rozwiązania.