stosunek odcinków

[darek20]

Niech czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) gdzie \(\displaystyle{ OA=5,\ OB=6,\ OC=7,\ OD=8}\) będzie opisany na okrągu o środku w punkie \(\displaystyle{ O}\).

Niech \(\displaystyle{ M,\ N}\) będą środkami odpowiednio odcinków \(\displaystyle{ AC,\ BD}\). Oblicz \(\displaystyle{ \frac{OM} {ON}}\).

[mateuszek89]

Coś jest źle w treści, bo zadanie w tej formie nie ma sensu. Może jednak opisany?

[darek20]

a czemu jest bez sensu?

[mateuszek89]

jak czworokąt będzie wpisany. To odległości \(\displaystyle{ OA,OB,OC,OD}\) będą równe promieniom chyba, ze ja coś źle rozumiem.

[darek20]

ok mój błąd juz poprawiłem

[darek20]

podbijam temat

[timon92]

oznaczmy promień tego okręgu przez \(\displaystyle{ r}\) oraz punkty styczności okręgu z odcinkami \(\displaystyle{ AB, BC, CD, DA}\) przez \(\displaystyle{ E,F,G,H}\) oraz kąty \(\displaystyle{ \angle AOE = \alpha, \angle BOF = \beta, \angle COG = \gamma, \angle DOH = \delta}\)

wówczas \(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma + \delta = \pi}\)

zatem \(\displaystyle{ \cos(\alpha + \beta) = - \cos(\gamma + \delta)}\) i rozpisując to ze wzoru na kosinus sumy i wstawiając tam \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac r5, \cos \beta = \frac r6, \cos \gamma = \frac r7, \cos \delta = \frac r8}\), dostaje się równanie czwartego stopnia zmiennej \(\displaystyle{ r^2}\)

idziemy z tym do Vaxa i on nam oblicza \(\displaystyle{ r=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{4716902399}{15364545}}}\) i jak już to mamy to można sobie policzyć boki trójkąta, potem z twierdzenia cosinusów przekątne i wreszcie ze wzoru na środkową odcinki \(\displaystyle{ OM, ON}\)

wychodzi \(\displaystyle{ \frac{35}{56}}\)

----------------------------------
szkic alternatywnego rozwiązania:
niech styczna do okręgu \(\displaystyle{ ABO}\) przecina \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) w punktach \(\displaystyle{ E,F}\)

liczymy kąty i mamy podobieństwa \(\displaystyle{ \Delta AEO \sim \Delta AOB \sim \Delta OFB}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta DEO \sim \Delta DOC \sim \Delta OFC}\)

można też pokazać, że \(\displaystyle{ EO=OF}\)

stąd \(\displaystyle{ \frac{AE}{ED} = \frac{AE}{EO} \cdot \frac{OE}{ED} = \frac{AO}{BO} \cdot \frac{CO}{DO} = \frac{AO \cdot CO}{BO \cdot DO}}\)

i analogicznie \(\displaystyle{ \frac{CF}{FB} = \frac{AO \cdot CO}{BO \cdot DO}}\)


umieszczamy teraz masy \(\displaystyle{ AO \cdot CO}\) w punktach \(\displaystyle{ B, D}\) oraz masy \(\displaystyle{ BO \cdot DO}\) w punktach \(\displaystyle{ A,C}\)

środkiem masy układu punktów \(\displaystyle{ A,D}\) jest \(\displaystyle{ E}\), a środkiem masy \(\displaystyle{ B,C}\) jest \(\displaystyle{ F}\) - teraz w punktach \(\displaystyle{ E, F}\) znajdują się równe masy, więc środkiem masy układu tych dwóch punktów jest środek odcinka \(\displaystyle{ EF}\), czyli punkt \(\displaystyle{ O}\)

z drugiej strony środkiem masy punktów \(\displaystyle{ A,C}\) jest środek odcinka \(\displaystyle{ AC}\), czyli punkt \(\displaystyle{ M}\), a środkiem masy punktów \(\displaystyle{ B,D}\) punkt \(\displaystyle{ N}\); teraz w punktach \(\displaystyle{ M, N}\) mamy masy \(\displaystyle{ 2BO \cdot DO, 2AO \cdot CO}\) odpowiednio, więc środek masy tych dwóch punktów (jest nim punkt \(\displaystyle{ O}\)) leży na odcinku \(\displaystyle{ MN}\) i dzieli go w stosunku \(\displaystyle{ \frac{OM}{ON} = \frac{AO \cdot CO}{BO \cdot DO}}\)

uwaga: przy okazji udowodniliśmy twierdzenie Newtona (środki przekątnych czworokąta i środek okręgu wpisanego są współliniowe)