Czworokąt wpisany w okrąg

[matematyk261]

Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisany jest w okrąg o środku \(\displaystyle{ O}\) i promieniu \(\displaystyle{ R}\). Przekątne tego czworokąta są prostopadłe i przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Oblicz:
1. \(\displaystyle{ |AP|^{2}+|BP|^{2}+|CP|^{2}+|DP|^{2}}\)
2. \(\displaystyle{ |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|DA|^{2}}\)
3. sumę kwadratów długości przekątnych, jeśli znana jest długość odcinka \(\displaystyle{ OP}\)

[Errichto]

Przyjmijmy \(\displaystyle{ d=|OP|}\).
1.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ |PD|^2=(r+d)^2\\|PB|^2=(r-d)^2\\|AP|^2=r^2-d^2\\|CP|^2=r^2-d^2}\)
Dodaj to i wyjdzie.

2.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ |AB|^2=|AP|^2+|BD|^2}\)
Rozpisz tak wszystko i skorzystaj z rozwiązania 1.