Dwusieczna kąta

[matematyk261]

Pary prostych wyznaczone przez przeciwległe boki czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisanego w okrąg przecinają się odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\). Wykaż, że dwusieczna kąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ V}\) jest prostopadła do dwusiecznej kąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ W}\).

[anna_]

AU

615415c95029affam.png (9.51 KiB) Przejrzano 36 razy

[/url]
Z trójkąta ABE
\(\displaystyle{ \alpha_1+\beta_1+\alpha=180^o}\)

Z trójkąta FBC
\(\displaystyle{ \beta+\beta_1+180^o-\alpha_1=180^o}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2} =90^o- \frac{\alpha_1}{2}- \frac{\beta_1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\beta}{2}= \frac{\alpha_1}{2} - \frac{\beta_1}{2}}\)

Z trójkąta AFW
\(\displaystyle{ \gamma=180^o-(\alpha_1+ \frac{\alpha}{2} )=180^o-(\alpha_1+90^o- \frac{\alpha_1}{2}- \frac{\beta_1}{2})=90^o- \frac{\alpha_1}{2} + \frac{\beta_1}{2}}\)

Z trójkąta VFE
\(\displaystyle{ | \sphericalangle FEV|=180^o-( \frac{\beta}{2} +\gamma)}\)
\(\displaystyle{ | \sphericalangle FEV|=180^o-( \frac{\alpha_1}{2} - \frac{\beta_1}{2} +90^o- \frac{\alpha_1}{2} + \frac{\beta_1}{2})=90^o}\)