Twierdzenie Talesa i jego związek z podobieństwem

[Damieux]

Dłuższa podstawa trapezu ma długość \(\displaystyle{ \left| AB\right|=10}\), a jego przekątne AC i BD dzielą się w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\). Ramiona trapezu o długości odpowiednio \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 7}\) przedłużono aż do ich przecięcia w punkcie E. Oblicz obwód trókąta ABE.\
Na razie to się w ogóle zastanawiam, czy przekątne mają się do siebie tak jak \(\displaystyle{ 2:1}\), czy może punkt ich przecięcia dzieli każdą z nich na \(\displaystyle{ 2:1}\)

[piasek101]

Punkt je dzieli.

[Damieux]

nie wiem dalej jak to rozgryźć

[Errichto]

Oznaczmy punkt przecięcia przekątnych jako S.
Należy zauważyć, że ABS i DCS są podobne - znając stosunek podziału przekątnych wyznaczamy dł. CD.
Dalej już standard.

[Damieux]

oznaczyłem jako \(\displaystyle{ x+2x}\) długość jednej przekątnej i analogicznie \(\displaystyle{ y+2y}\) długość drugiej przekątnej, następnie stworzyłem układ równań, wykorzystując twierdzenie kosinusów:\(\displaystyle{ 36=x ^{2}+4y ^{2}-2x2ycos \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ 49=y ^{2}+4x ^{2}-2y2xcos \alpha}\) i otrzymuję: \(\displaystyle{ 13+3y ^{3}=3x ^{2}}\)

[Errichto]

\(\displaystyle{ \frac{|CS|}{|SA|}=\frac{|CD|}{|AB|} \\ \frac{1}{2}= \frac{|CD|}{10}}\)

[Damieux]

dzięki, że też na to nie wpadłem