Trójkąt prostokątny

[zygzak11]

W trójkącie prostokątnym, w którym kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) jest prosty, obrano na przeciwprostokątnej punkty \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Zachodzi \(\displaystyle{ BD = BC}\) i\(\displaystyle{ AE = AC}\). \(\displaystyle{ F}\) jest rzutem punktu \(\displaystyle{ E}\) na bok \(\displaystyle{ BC}\), zaś \(\displaystyle{ G}\) jest rzutem punktu \(\displaystyle{ D}\) na bok \(\displaystyle{ AC}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ EF + DG = DE.}\)

Próbowałem z podobieństwa ale nie wychodzi. Proszę o pomoc.

[anna_]

\(\displaystyle{ c=a-x+x+b-x=a+b-x \Rightarrow x=a+b-c}\)

Z podobieństwa trójkątów GAD i ABC
\(\displaystyle{ \frac{DG}{b-x} = \frac{a}{c} \Rightarrow DG= \frac{a(b-x)}{c}}\)

Z podobieństwa trójkątów FEB i ABC
\(\displaystyle{ \frac{FE}{a-x} = \frac{b}{c} \Rightarrow FE= \frac{b(a-x)}{c}}\)

\(\displaystyle{ DG+FE= \frac{a(b-x)}{c}+\frac{b(a-x)}{c}= \frac{ab-ax+ab-bx}{c}=\frac{(a^2+ab-ax)+(ab-bx+b^2)-a^2-b^2}{c}=\\
\frac{a(a+b-x)+b(a-x+b)-(a^2+b^2)}{c}=\frac{ac+bc-c^2}{c}=\frac{c(a+b-c)}{c}=\\
a+b-c=x}\)