Wieloznaczne zadanie dotyczące dwóch okręgów i kąta

[Andrzejmm]

Dwa zewnętrznie styczne okręgi są styczne do ramion kąta. Odległości ich środków od wierzchołka kąta wynoszą odpowiednio: 7, 12. Oblicz długości promieni tych okręgów.

Zadanie jest łatwe gdy przyjmiemy, że środki okręgów i wierzchołek kąta są współliniowe.
Kłopot w tym, jak rozwikłać to zadanie, gdy owe trzy punkty nie są współlinowe. Jeśli oznaczymy sobie środki okręgów przez S, Ś a wierzchołek kąta przez X, to będzie to wyglądało mniej więcej tak:


_________________________________X







_____________________S__________________Ś


Proszę o pomoc.

[Intact]

Ale z tego co mi się wydaje srodki tych okręgów muszą być współliniowe bo inaczej nie byłyby styczne do ramion kąta! Bo każdy okrąg musi być styczny do każdego z dwóch ramion kąta.

[Andrzejmm]

Wszak każde dwa punkty są współliniowe, więc środki dwóch okręgów są zawsze wspóółliniowe.
I nie jest powiedziane, że każdy okrąg musi być styczny do każdego z dwóch ramion kąta, tylko, że dwa okręgi są styczne do ramion kąta (nie do dwóch ramion kąta) co upoważnia do rozważenia dwóch przypadków tj. gdy każdy okrąg jest stczny do dwóch ramion kąta przy czym oba są styczne zewnętrznie oraz gdy jeden okrąg jest styczny do jednego drugi do drugiego ramienia kąta i oba są ze sobą styczne zewnętrznie.

[LecHu :)]

Ja widzę trzy możliwości:

[Andrzejmm]

Ta trzecia jest niezgodna z warunkami zadania bo jest napisane, że okręgi są styczne do ramion kąta a nie do ramienia.
Tylko niechaj ktoś to teraz rozwiąże.

[LecHu :)]

1.W pierwszym przypadku odległości to promienie.
2.Będzie kilka możliwości gdyż:
l-odległość środka bliższego koła do wierchołka kąta
l=7
l+r+R=12 => r+R=5

[Intact]

Lechu ale oba okregi musza byc styczne do siebie i do obiu ramio. Przynajmniej wg mnie.

[Andrzejmm]

Lechu jest tylko jedno rozwiązanie w przypadku 2 poprostu korzystasz z twierdzenia talesa i już. Jeśli chodzi o 1 przypadek to dobrze ale może być tak, że ten wierzchołek kąta jest lekko odsunięty od punktu styczności i co wtedy? Ponadto jest jeszcze możliwość jaką tam wyżej zawarłem, a że rysunku nie umiem umieścić w internecie, aby go przedstawić to tak go napisałem a nie inaczej. Poprostu oba koła z możliwości 3 przesuwasz do środka kąta nie zmieniając ich wzajemnego położenia i może trochę w tył odsuwasz, by jeden się stykał z jednym a drugi z drugim ramieniem kąta.

[DEXiu]

Nadgorliwość jest gorsza od faszyzmu Jeśli nie jest w 100 % sprecyzowane i masz wątpliwości - bierzesz opcję która jest dla Ciebie wygodniejsza Ale wg mnie tu sprawa jest oczywista. Dwa zewnętrznie styczne okręgi są styczne do ramion kąta (oba są styczne do ramion, a więc każdy z nich jest styczny do ramion więc nie jednego ramienia tylko dwóch ). A nawet gdyby przyjąć Twoją opcję za możliwą, to wówczas zadanie byłoby nierozwiązywalne Wystarczy wziąć dwa dowolne styczne zewnętrznie okręgi, których suma promieni jest mniejsza od 5 - dla każdej takiej pary będą istniały dwa wierzchołki kąta, a więc i dwa kąty (niekoniecznie różnych miar, a chyba nawet na pewno tej samej miary) spełniające wszystkie warunki zadania, a oczywiste jest, że promieni tych okręgów nie sposób wyznaczyć. Gdyby była dana przynajmniej miara kąta wówczas odpowiedź byłaby jednoznaczna.

[florek177]

Dla przypadku 2. ( LecHa )

Ze środków okręgów ( r, R ) prowadzimy prostopadłe do ramin kąta.

\(\displaystyle{ R + r = 5 \,\,\, \, ;}\) \(\displaystyle{ \,\, \frac{r}{7} = \frac{R}{12}}\)

\(\displaystyle{ r = \frac{35}{19} \,\ R = \frac{60}{19}}\)

[Andrzejmm]

Rzeczywiście jest wiele rozwiązań jeśli przyjmiemy, że promienie są różne i jeden okrąg jest styczny do jednego drugi do drugiego ramienia kąta, lecz jeśli przyjmiemy, że oba promienie są sobie równe to zadanie ma tylko jedno rozwikłanie. Powstaje trójkąt o jakiejś podstawie, która jest jednocześnie dłuższą pdstawą trapezu równoramiennego o ramieniu r i krótszej podstawie równej 2r.