Niech \(\displaystyle{ ABCDE}\) będzie pięciokatem wypukłym takim że
\(\displaystyle{ (*)\angle DEB =120^{o}}\)
\(\displaystyle{ (*)\angle DAB = 90^{o}}\)
\(\displaystyle{ (*)AB=BE=EC}\)
\(\displaystyle{ (*)AD=DC}\)
Pokaż że \(\displaystyle{ \angle ECD <60^{o}.}\)
kąt w pięciokacie
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
kąt w pięciokacie
niech \(\displaystyle{ AB = a, AD = b, \angle ECD = \xi}\)
wówczas
\(\displaystyle{ a^2+b^2 = BD^2 \\
BD^2 = b^2+DE^2-2bDE \cos 120^\circ \\
DE^2 = a^2+b^2-2ab \cos \xi}\)
sumujemy, przekształcamy i dostajemy \(\displaystyle{ \cos \xi = \frac 1 2 \cdot \frac{b+DE}{a} > \frac 1 2}\) na mocy nierówności trójkąta
stąd \(\displaystyle{ \xi > 60^\circ}\)
wówczas
\(\displaystyle{ a^2+b^2 = BD^2 \\
BD^2 = b^2+DE^2-2bDE \cos 120^\circ \\
DE^2 = a^2+b^2-2ab \cos \xi}\)
sumujemy, przekształcamy i dostajemy \(\displaystyle{ \cos \xi = \frac 1 2 \cdot \frac{b+DE}{a} > \frac 1 2}\) na mocy nierówności trójkąta
stąd \(\displaystyle{ \xi > 60^\circ}\)