wykazanie nierówności

[darek20]

W pieciokącie \(\displaystyle{ A B C D E}\) , \(\displaystyle{ \sphericalangle A= \sphericalangle B= \sphericalangle C= \sphericalangle D=120^o.}\) Pokaż że \(\displaystyle{ 4AC \cdot BD \ge 3AE \cdot ED}\).

[spartakussowlany]

jeżeli w pięciokącie każdy z pięciu boków jest równy \(\displaystyle{ 120 ^{o}}\) to znaczy że pięciokąt jest foremny czyli każdy z boków jest równy \(\displaystyle{ AB=BC=CD=DE=EA=X}\) a więc wyrażenie uprościmy i zapiszemy \(\displaystyle{ 4x \cdot x \ge 3x \cdot x}\)

\(\displaystyle{ 4x ^{2} \ge 3x ^{2}}\)

[florek177]

ale napisał, że 4 kąty są równe

[darek20]

jeżeli w pięciokącie każdy z pięciu boków jest równy \(\displaystyle{ 120 ^{o}}\) to znaczy że pięciokąt jest foremny czyli każdy z boków jest równy \(\displaystyle{ AB=BC=CD=DE=EA=X}\) a więc wyrażenie uprościmy i zapiszemy \(\displaystyle{ 4x \cdot x \ge 3x \cdot x}\)

\(\displaystyle{ 4x ^{2} \ge 3x ^{2}}\)

popatrz na tresc zadania, a chocby tak było to i tak nieprawda z tymi 120

[spartakussowlany]

a kurde sory bo \(\displaystyle{ 5 \cdot 120 ^{0}=600 ^{0}}\) a pięciokąt foremny ma \(\displaystyle{ 540 ^{0}}\) dzisiaj po 20 podeślę rozwiązanie

[timon92]

Niech \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ F}\). Niech \(\displaystyle{ G, H}\) będą rzutami punktów \(\displaystyle{ A,D}\) na proste \(\displaystyle{ DF, AF}\).

Z prostego rachunku na kątach wychodzi \(\displaystyle{ \angle DFA = 60^\circ}\) oraz to, że \(\displaystyle{ FDEA}\) jest równoległobokiem. Mamy więc \(\displaystyle{ AE = FD, ED=AF, AG = AF \sin 60^\circ = \frac {\sqrt 3} 2 AF, DH = DF \sin 60 ^\circ = \frac {\sqrt 3} 2 DF}\)

Ponadto \(\displaystyle{ AE \ge AG, DB \ge DH}\). Przeto

\(\displaystyle{ AC \cdot BD \ge AG \cdot DH = \frac 3 4 AF \cdot DF = \frac 3 4 AE \cdot ED}\)

[darek20]

timon92 niezawodny