Wyznacz stosunek długości boków równoległoboku wiedząc, że stosunek kwadratów długości jego przekątnych jest równy \(\displaystyle{ \frac{19}{7}}\), zaś kąt ostry tego równoległoboku jest równy \(\displaystyle{ 60}\) stopni
Doszedłem do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{19}{7}= \frac{a ^{2}+ab+b ^{2} }{a ^{2}-ab+b ^{2}}}\)
Stosunek długości boków równoległoboku
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Stosunek długości boków równoległoboku
Jeżeli prawidłowo doszedłeś do tej postaci (nie sprawdzam) to:
\(\displaystyle{ \frac{19}{7} = \frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2} : \frac{b^2}{b^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{19}{7} = \frac{(\frac{a}{b})^2+\frac{a}{b}+1}{(\frac{a}{b})^2-\frac{a}{b}+1}}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ t=\frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{19}{7} = \frac{t^2+t+1}{t^2-t+1}}\)
\(\displaystyle{ 19t^2-19t+19=7t^2+7t+7}\)
\(\displaystyle{ 12t^2-26t+12=0 /:2}\)
\(\displaystyle{ 6t^2-13t+6=0}\)
\(\displaystyle{ t = \frac{3}{2} \vee t = \frac{2}{3}}\)
Oba rozwiązania są takie same (zależy czy założymy, że a jest dłuższy od b czy b dłuższy od a ) Czyli stosunek długości boków wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \frac{19}{7} = \frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2} : \frac{b^2}{b^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{19}{7} = \frac{(\frac{a}{b})^2+\frac{a}{b}+1}{(\frac{a}{b})^2-\frac{a}{b}+1}}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ t=\frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{19}{7} = \frac{t^2+t+1}{t^2-t+1}}\)
\(\displaystyle{ 19t^2-19t+19=7t^2+7t+7}\)
\(\displaystyle{ 12t^2-26t+12=0 /:2}\)
\(\displaystyle{ 6t^2-13t+6=0}\)
\(\displaystyle{ t = \frac{3}{2} \vee t = \frac{2}{3}}\)
Oba rozwiązania są takie same (zależy czy założymy, że a jest dłuższy od b czy b dłuższy od a ) Czyli stosunek długości boków wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
Pozdrawiam.