Który kąt nie może być kątem wewnętrznym wielokąta foremnego?
A) 171 stopni
B) 173 stopnie
C) 175 stopni
D) 177 stopni
E) 179 stopni
Odpowiedź uzasadnij odpowiednimi obliczeniami.
Wielokąt foremny
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Wielokąt foremny
Odp B) -173 stopdnie
Uzasadnienie jest łatwe.
Wystarczy zauważyć że miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest równa \(\displaystyle{ \alpha=180^o-\frac{360^o}{n} \quad (*)}\) gdzie n jest to ilość boków.
Ten wzór bierze się z tego, że jeżeli podzielimy wielokąt foremny na trójkąty (poprowadzimy odcinki z każdego wierzchołka do środka okręgu wpisanego/opisanego na tym wielokącie) to każdy powstały trójkąt ma 1 kąt (którego wierzchołkiem jest środek okręgu) miarę \(\displaystyle{ \frac{360^o}{n}}\) stąd dwa pozostałe kąty a tym samym miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego wyraża się wzorem \(\displaystyle{ (*)}\)
Podstawiając kolejno wartości A-E mamy dla B:
\(\displaystyle{ 180^o-{360^o \over n}=173\\
{360^o \over n}=7\\
n={360 \over 7}^o \mathbb{N}}\)
n nie jest naturalne stąd kąt B nie może być miarą kąta wewnętrznego wielokąta foremnego.
Uzasadnienie jest łatwe.
Wystarczy zauważyć że miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego jest równa \(\displaystyle{ \alpha=180^o-\frac{360^o}{n} \quad (*)}\) gdzie n jest to ilość boków.
Ten wzór bierze się z tego, że jeżeli podzielimy wielokąt foremny na trójkąty (poprowadzimy odcinki z każdego wierzchołka do środka okręgu wpisanego/opisanego na tym wielokącie) to każdy powstały trójkąt ma 1 kąt (którego wierzchołkiem jest środek okręgu) miarę \(\displaystyle{ \frac{360^o}{n}}\) stąd dwa pozostałe kąty a tym samym miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego wyraża się wzorem \(\displaystyle{ (*)}\)
Podstawiając kolejno wartości A-E mamy dla B:
\(\displaystyle{ 180^o-{360^o \over n}=173\\
{360^o \over n}=7\\
n={360 \over 7}^o \mathbb{N}}\)
n nie jest naturalne stąd kąt B nie może być miarą kąta wewnętrznego wielokąta foremnego.