pole i wysokość rombu

adri9225 · Post autor: **adri9225** » 12 mar 2011, o 16:17

Witam,
muszę rozwiązać to zadanie. Próbowałem kilkakrotnie ale zupełnie nie mam pomysłu jak to zrobić.

Bok rombu ma długość 4 cm, a suma długości jego przekątnych jest równa 10 cm. Oblicz pole i wysokość tego rombu.

anna_ · Post autor: **anna_** » 12 mar 2011, o 17:09

\(\displaystyle{ a=4}\) - bok
\(\displaystyle{ e,f}\) - przekątne
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4h= \frac{ef}{2} \\ e+f=10\\ ( \frac{1}{2}e )^2+( \frac{1}{2}f )^2=4^2\end{cases}}\)

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 12 mar 2011, o 17:11

Zauważ, że przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy:

Z układu wylicz x i y, czyli połówki przekątnych.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+2y=10 \\ x^2+y^2=4^2 \end{cases}}\)
Znając przekątne policz pole rombu, znając pole rombu wylicz jego wysokość.

adri9225 · Post autor: **adri9225** » 12 mar 2011, o 18:06

mógłbym prosić o rozwiązanie tego układu, bo wychodzą mi nie takie przekątne co trzeba co w konsekwencji daje błędny wynik końcowy

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 12 mar 2011, o 18:18

Wyznacz z pierwszego równania np. x i podstaw do drugiego. Otrzymasz równanie kwadratowe.
Podaj swoje obliczenia, sprawdzimy...

adri9225 · Post autor: **adri9225** » 12 mar 2011, o 18:30

z pierwszego równania \(\displaystyle{ 2x+2y=10}\) wyznaczyłem \(\displaystyle{ x}\), dzieląc \(\displaystyle{ 2x+2y=10}\) przez \(\displaystyle{ 2}\) więc otrzymałem postać
\(\displaystyle{ x+y =5}\) czyli \(\displaystyle{ x=5-y}\) i podstawiłem do 2 równania i dalej już mi nie wychodzi

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 12 mar 2011, o 18:34

Dalej masz:
\(\displaystyle{ (5-y)^2+y^2=16}\)
podnieś do kwadratu nawias, otrzymasz równanie kwadratowe - policz deltę itd.

adri9225 · Post autor: **adri9225** » 12 mar 2011, o 18:50

do takiego równania sam doszedłem ale jak dalej liczę to już mam problem

-- 12 mar 2011, o 19:56 --

po wymożeniu mam taka postać \(\displaystyle{ 2y^2 - 10y+9 = 0}\)

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 12 mar 2011, o 18:56

W którym miejscu masz problem? Deltę wyliczyłeś?

adri9225 · Post autor: **adri9225** » 12 mar 2011, o 19:00

wyliczyłem deltę \(\displaystyle{ b^2 - 4ac = 100- 72 =28}\)
a \(\displaystyle{ x_1 = \frac{10- \sqrt{28} }{4}}\)

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 12 mar 2011, o 19:00

Rozwiązania winny wyjść:
\(\displaystyle{ x= \frac{5+ \sqrt{7}}{2} \\ y= \frac{5- \sqrt{7}}{2}}\)
lub
\(\displaystyle{ x= \frac{5- \sqrt{7} }{2} \\ y= \frac{5+ \sqrt{7}}{2}}\)

adri9225 · Post autor: **adri9225** » 12 mar 2011, o 19:03

mógłbym prosić o rozwiązanie tego całego zadania?

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 12 mar 2011, o 20:05

Masz już prawie wszystko wyliczone
\(\displaystyle{ x_1= \frac{-(-10)+2 \sqrt{7} }{4} = \frac{5+ \sqrt{7}}{2}}\)
wtedy
\(\displaystyle{ y_1=5-\frac{5+ \sqrt{7}}{2}= \frac{5- \sqrt{7}}{2}}\)
Dla:
\(\displaystyle{ x_2= \frac{-(-10)-2 \sqrt{7} }{4} = \frac{5- \sqrt{7}}{2} \\ y_2=5- \frac{5- \sqrt{7}}{2}= \frac{5+ \sqrt{7}}{2}}\)

Tak czy inaczej długości przekątnych są następujące: \(\displaystyle{ 5-\sqrt{7}}\) oraz \(\displaystyle{ 5+\sqrt{7}}\).
Policz pole ze wzoru:
\(\displaystyle{ P= \frac{e \cdot f}{2}}\) gdzie e i f to długości przekątnych
Potem policz wysokość ze wzoru:
\(\displaystyle{ P=ah}\) (P już masz, a też znasz)

adri9225 · Post autor: **adri9225** » 12 mar 2011, o 22:39

obliczyłem pole rombu, wyszło mi 36cm kwadrat, a prawidłowa odpowiedź w książce w odpowiedziach to 9cm kwadrat, więc gdzieś jest błąd. Może w moich obliczeniach

anna_ · Post autor: **anna_** » 12 mar 2011, o 23:31

\(\displaystyle{ x_1= \frac{-(-10)+2 \sqrt{7} }{4} = \frac{5+ \sqrt{7}}{2}}\)
\(\displaystyle{ y_1=10-(5+ \sqrt{7})= \frac{5- \sqrt{7}}{2}}\)

długości przekątnych \(\displaystyle{ 5- \sqrt{7}}\) oraz \(\displaystyle{ 5+ \sqrt{7}}\).