Nietypowy wzór na pole równoległoboku

[mat-fiz]

Przekątna równoległoboku ma długość d i dzieli jego kąt ostry na kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\). Oblicz pole i obwód tego równoległoboku.

Nie mam pojęcia jak wyprowadzić wzór na pole i obwód tego równoległoboku. Rozumiem, ze ma być w nim zawarta tylko długość przekątnej i i tych dwóch kątów z funkcjami trygonometrycznymi. proszę zatem o jakieś eleganckie wyprowadzenie. Będę wdzięczny.

[Qń]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ a}\) bok równoległoboku przy kącie \(\displaystyle{ \alpha}\), a przez \(\displaystyle{ b}\) przy kącie \(\displaystyle{ \beta}\). Z twierdzenia cosinusów mamy:
\(\displaystyle{ b^2=a^2+d^2-2ad\cos \alpha\\
a^2=b^2+d^2-2bd\cos \beta}\)
skąd po dodaniu stronami dostaniemy pierwszą zależność między \(\displaystyle{ a,b}\).

Mamy też:
\(\displaystyle{ \frac 12 ad\sin \alpha=\frac 12 bd \sin \beta}\) (dlaczego?)
skąd dostajemy drugą zależność między \(\displaystyle{ a,b}\).

Wystarczy więc rozwiązać układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi \(\displaystyle{ a,b}\).

Q.

[mat-fiz]

Ostatecznie wzór na pole to:

\(\displaystyle{ P=\frac{d^2\sin (\alpha+ \beta ) }{(\cos \alpha + \sin \alpha \ctg \beta )(\cos \beta +\sin \beta ctg \alpha ) }}\)

Dobrze?