pole czworokąta

[justysia14112008]

Dane są okręgi \(\displaystyle{ o_1}\): \(\displaystyle{ x ^{2} + y^{2} +4x-4y-17=0}\)
i \(\displaystyle{ o_2}\): \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} -8x-4y+7=0}\)
Oblicz pole czworokąta którego wierzchołkami są środki okręgów \(\displaystyle{ o_1}\) i \(\displaystyle{ o_2}\) oraz punkty przecięcia tych okręgów.

[piasek101]

Ze środkami powinnaś sobie poradzić - jakby co pytaj.

Układ równań okręgów (jego rozwiązanie) to szukane dwa pozostałe wierzchołki.
Podpowiedź - odjąć równania stronami.

[octahedron]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} + y^{2} +4x-4y-17=0 \\ x^{2} + y ^{2} -8x-4y+7=0\end{cases} \\
x ^{2} + y^{2} +4x-4y-17=x^{2} + y ^{2} -8x-4y+7\\
4x-17=-8x+7\\
x=2\\
2^{2} + y ^{2} -8\cdot 2-4y+7=0\\
y ^{2}-4y-5=0\\
(y+1)(y-5)=0\\}\)
punkty przecięcia to \(\displaystyle{ A=(2;5)\;i\;B=(2;-1)}\)
teraz środki okręgów
\(\displaystyle{ x ^{2} + y^{2} +4x-4y-17=0 \rightarrow (x+2)^{2} + (y-2)^{2} =25 \rightarrow O_1=(-2;2)\\
x ^{2} + y^{2} -8x-4y+7=0 \Rightarrow (x-4)^{2} + (y-2)^{2} =13 \rightarrow O_2=(4;2)\\}\)
odcinki \(\displaystyle{ \;O_1 O_2 \;i\;AB}\) są przekątnymi czworokąta i są do siebie prostopadłe, wtedy pole jest połową iloczynu przekątnych
\(\displaystyle{ S= \frac{1}{2} \left| AB\right|\left| O_1 O_2\right|=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18}\)