stosunek promieni okręgów

[mateuszpetrzak]

Dane są dwa okręgi styczne zewnętrznie. Wspólne stycne do tych okręgów przecinają sie pod kątem beta. oblicz stsunek promieni tych okregów

[mateuszek89]

sporządź rysunek:) Następnie niech \(\displaystyle{ r_1,r_2}\)- promienie okręgów. Przy czym \(\displaystyle{ r_2>r_1}\) oraz \(\displaystyle{ S}\)-przecięcie stycznych.Narysuj odcinek wychodzący S ze środkami okręgów(\(\displaystyle{ A,B}\), \(\displaystyle{ SA<SB}\)) Dostajesz trójkąty prostokątne które są oczywiście podobne. Z podobieństwa masz
\(\displaystyle{ \frac{r_2}{r_1}=\frac{SB}{SA}=\frac{SA+r_1+r_2}{SA}=1+\frac{r_1+r_2}{SA}}\) (*).
Ponadto \(\displaystyle{ \frac{r_1}{SA}=\sin {\frac{ \beta }{2}}}\). Czyli \(\displaystyle{ SA=\frac{r_1}{\sin {\frac{ \beta }{2}}}}\). Podstawiając to do (*) powinieneś otrzymać po chwili przekształceń odp.
\(\displaystyle{ \frac{r_2}{r_1}=\frac{1+\sin {\frac{ \beta }{2}}}{1-\sin {\frac{ \beta }{2}}}}\).
Pozdrawiam!