Długości boków trójkąta ABC są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie \(\displaystyle{ q}\).
Wykaż, że miary kątów trójkąta zbudowanego z odcinków o długościach równych długościom wysokości trójka˛ta \(\displaystyle{ ABC}\) są równe miarom kątów trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).
Długości boków trójkąta - ciąg geometryczny
-
myther
- Użytkownik
- Posty: 505
- Rejestracja: 3 kwie 2010, o 21:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sanok
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 2 razy
Długości boków trójkąta - ciąg geometryczny
Ostatnio zmieniony 5 mar 2011, o 17:04 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
adambak
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Długości boków trójkąta - ciąg geometryczny
czyli na to samo wyjdzie jak udowodnimy że te dwa trójkąty są podobne.
boki naszego trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\): \(\displaystyle{ (a,b,c)}\), jest to ciąg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ q}\), więc:
\(\displaystyle{ b=a \cdot q}\)
\(\displaystyle{ c=a \cdot q ^{2}}\)
teraz boki trójkąta zbudowanego z wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\): \(\displaystyle{ h _{a}}\), \(\displaystyle{ h _{b}}\), \(\displaystyle{ h _{c}}\) - wysokości opuszczone na kolejno boki: \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\)
pole trójkąta:
\(\displaystyle{ \frac{a \cdot h _{a}}{2} = \frac{b \cdot h _{b}}{2} = \frac{c \cdot h _{c}}{2}}\)
\(\displaystyle{ a \cdot h _{a} = a \cdot q \cdot h _{b} = a \cdot q ^{2} \cdot h _{c}}\)
\(\displaystyle{ h _{a} = q \cdot h _{b} = q ^{2} \cdot h _{c}}\)
a więc boki tego trójkąta to: \(\displaystyle{ (h _{c},qh _{c}, q ^{2}h _{c})}\)
tworzą również ciąg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ q}\) wobec tego, reasumując:
trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\): \(\displaystyle{ (a, aq, aq ^{2})}\)
trójkąt z wysokości \(\displaystyle{ ABC}\): \(\displaystyle{ (h _{c},h _{c}q, h _{c}q ^{2} )}\)
stosunek odpowiednich boków to: \(\displaystyle{ \frac{a}{h _{c}}}\) wobec tego trójkąty są podobne, a więc trójkąt z wysokości ma takie same kąty jak trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). cbdu.
boki naszego trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\): \(\displaystyle{ (a,b,c)}\), jest to ciąg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ q}\), więc:
\(\displaystyle{ b=a \cdot q}\)
\(\displaystyle{ c=a \cdot q ^{2}}\)
teraz boki trójkąta zbudowanego z wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\): \(\displaystyle{ h _{a}}\), \(\displaystyle{ h _{b}}\), \(\displaystyle{ h _{c}}\) - wysokości opuszczone na kolejno boki: \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\)
pole trójkąta:
\(\displaystyle{ \frac{a \cdot h _{a}}{2} = \frac{b \cdot h _{b}}{2} = \frac{c \cdot h _{c}}{2}}\)
\(\displaystyle{ a \cdot h _{a} = a \cdot q \cdot h _{b} = a \cdot q ^{2} \cdot h _{c}}\)
\(\displaystyle{ h _{a} = q \cdot h _{b} = q ^{2} \cdot h _{c}}\)
a więc boki tego trójkąta to: \(\displaystyle{ (h _{c},qh _{c}, q ^{2}h _{c})}\)
tworzą również ciąg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ q}\) wobec tego, reasumując:
trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\): \(\displaystyle{ (a, aq, aq ^{2})}\)
trójkąt z wysokości \(\displaystyle{ ABC}\): \(\displaystyle{ (h _{c},h _{c}q, h _{c}q ^{2} )}\)
stosunek odpowiednich boków to: \(\displaystyle{ \frac{a}{h _{c}}}\) wobec tego trójkąty są podobne, a więc trójkąt z wysokości ma takie same kąty jak trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). cbdu.
-
MrVonzky
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 15 lut 2011, o 14:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
Długości boków trójkąta - ciąg geometryczny
\(\displaystyle{ h _{a} = q \cdot h _{b} = q ^{2} \cdot h _{c}}\)
no ale w tym zapisie mamy równość ha=hb=hc, więc dlaczego dalej wnioskujesz, że hc=qhc=q^2hc... ?
no ale w tym zapisie mamy równość ha=hb=hc, więc dlaczego dalej wnioskujesz, że hc=qhc=q^2hc... ?
-
adambak
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Długości boków trójkąta - ciąg geometryczny
po prostu potem zamieniłem kolejność, zobacz wyszło mi że:
\(\displaystyle{ h _{a} = q \cdot h _{b} = q ^{2} \cdot h _{c}}\)
a potem zapisałem w ciąg w odwrotnej kolejności, zaczynając od \(\displaystyle{ h _{c}}\), wiemy że \(\displaystyle{ h _{a} = q ^{2} \cdot h _{c}}\), a \(\displaystyle{ q \cdot h _{b} = q ^{2} \cdot h _{c}}\) - czyli dzieląc
przez \(\displaystyle{ q}\) mamy: \(\displaystyle{ h _{b} = q \cdot h _{c}}\). Czyli \(\displaystyle{ h _{c}}\) jest najmniejsze i zaczynając od niego mamy: \(\displaystyle{ (h _{c},qh _{c}, q ^{2}h _{c})}\) - czyli kolejno \(\displaystyle{ (h _{c}, h _{b}, h _{a})}\)Skąd ta kolejność? Zapisuję od najmniejszego boku do najwiekszego, żeby porównać odpowiadające sobie boki - no bo wychodzi że trójkąty są podobne. Wszystko jest w porządku..
\(\displaystyle{ h _{a} = q \cdot h _{b} = q ^{2} \cdot h _{c}}\)
a potem zapisałem w ciąg w odwrotnej kolejności, zaczynając od \(\displaystyle{ h _{c}}\), wiemy że \(\displaystyle{ h _{a} = q ^{2} \cdot h _{c}}\), a \(\displaystyle{ q \cdot h _{b} = q ^{2} \cdot h _{c}}\) - czyli dzieląc
przez \(\displaystyle{ q}\) mamy: \(\displaystyle{ h _{b} = q \cdot h _{c}}\). Czyli \(\displaystyle{ h _{c}}\) jest najmniejsze i zaczynając od niego mamy: \(\displaystyle{ (h _{c},qh _{c}, q ^{2}h _{c})}\) - czyli kolejno \(\displaystyle{ (h _{c}, h _{b}, h _{a})}\)Skąd ta kolejność? Zapisuję od najmniejszego boku do najwiekszego, żeby porównać odpowiadające sobie boki - no bo wychodzi że trójkąty są podobne. Wszystko jest w porządku..